A hybrid FEM-PINN method for time-dependent partial differential equations

要約

この研究では、時間有限要素法とディープ ニューラル ネットワークを融合することにより、進化偏微分方程式 (PDE) を解くためのハイブリッド数値法を提案します。
ニューラル ネットワークが時空間領域で定義される従来の深層学習ベースの定式化とは対照的に、私たちの方法論では、空間依存係数がニューラル ネットワークの出力として定義される時間方向の有限要素基底関数を利用します。
次に、ガラーキンまたはコロケーション投影を時間方向に適用して、PINN のフレームワークで近似される空間依存係数の偏微分方程式系を取得します。
このようなハイブリッド定式化の利点は 2 つあります。時間方向の積分の統計誤差が回避されることと、ニューラル ネットワークの出力を縮小された空間基底関数のセットとみなすことができることです。
高次元性と低い規則性による問題をさらに軽減するために、トレーニング セットを改良する適応サンプリング戦略を開発しました。
より具体的には、陽的密度モデルを使用して PDE 残差によって引き起こされる分布を近似し、学習された密度モデルによって与えられる新しい時間依存のランダム サンプルでトレーニング セットを強化します。
私たちが提案した方法の有効性と効率は、一連の数値実験を通じて実証されました。

要約(オリジナル)

In this work, we present a hybrid numerical method for solving evolution partial differential equations (PDEs) by merging the time finite element method with deep neural networks. In contrast to the conventional deep learning-based formulation where the neural network is defined on a spatiotemporal domain, our methodology utilizes finite element basis functions in the time direction where the space-dependent coefficients are defined as the output of a neural network. We then apply the Galerkin or collocation projection in the time direction to obtain a system of PDEs for the space-dependent coefficients which is approximated in the framework of PINN. The advantages of such a hybrid formulation are twofold: statistical errors are avoided for the integral in the time direction, and the neural network’s output can be regarded as a set of reduced spatial basis functions. To further alleviate the difficulties from high dimensionality and low regularity, we have developed an adaptive sampling strategy that refines the training set. More specifically, we use an explicit density model to approximate the distribution induced by the PDE residual and then augment the training set with new time-dependent random samples given by the learned density model. The effectiveness and efficiency of our proposed method have been demonstrated through a series of numerical experiments.

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