Saltation Matrices: The Essential Tool for Linearizing Hybrid Dynamical Systems

要約

ハイブリッド力学系、すなわち連続状態と離散状態の両方を持つ系は、工学ではどこにでも存在するが、その不連続な遷移のために扱うのが難しい。例えば、ロボットの脚は、空中にあるときは、地上にあるときに比べてほとんど制御力を発揮することができない。脚が地面に着くと、貫通速度は瞬時にゼロになる。このような瞬時のダイナミクスの変化や状態の不連続性（またはジャンプ）は、計画、推定、制御、学習のための標準的な滑らかなツールをハイブリッドシステムにとって困難なものにしている。このようなジャンプを考慮するための重要なツールの1つが、ソルテーション行列と呼ばれるものです。ソルテーション行列は、ハイブリッドジャンプが発生したときの感度更新であり、ロボット工学、電力回路、計算論的神経科学など様々な分野で利用されている。本論文では、ソルテーション行列の直感的な導出を提示し、それが何を捉えるのか、過去にどこで使用されてきたのか、線形および2次形式に対してどのように使用されるのか、片側拘束を持つ剛体系に対してどのように計算されるのか、そしてこれらのケースにおけるソルテーション行列の構造的性質のいくつかについて議論する。

要約(オリジナル)

Hybrid dynamical systems, i.e. systems that have both continuous and discrete states, are ubiquitous in engineering, but are difficult to work with due to their discontinuous transitions. For example, a robot leg is able to exert very little control effort while it is in the air compared to when it is on the ground. When the leg hits the ground, the penetrating velocity instantaneously collapses to zero. These instantaneous changes in dynamics and discontinuities (or jumps) in state make standard smooth tools for planning, estimation, control, and learning difficult for hybrid systems. One of the key tools for accounting for these jumps is called the saltation matrix. The saltation matrix is the sensitivity update when a hybrid jump occurs and has been used in a variety of fields including robotics, power circuits, and computational neuroscience. This paper presents an intuitive derivation of the saltation matrix and discusses what it captures, where it has been used in the past, how it is used for linear and quadratic forms, how it is computed for rigid body systems with unilateral constraints, and some of the structural properties of the saltation matrix in these cases.

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