Quantum Distance Approximation for Persistence Diagrams

要約

トポロジカル データ分析手法は、潜在的に複雑で高次元のデータ セットの形状に関する重要な情報を要約した 2 次元の永続図を提供できるため、さまざまな分野の分類およびクラスタリング タスクに役立ちます。
永続化図の空間には、統計構造を許可し、これらの要約を機械学習アルゴリズムに使用できるようにする Wasserstein 距離などのさまざまなメトリックを与えることができます。
ただし、2 つの永続性ダイアグラム間の距離を計算するには、2 つのダイアグラムの点を一致させる最適な方法を見つける必要があり、古典的なコンピューターにとって必ずしも簡単な作業ではない可能性があります。
この研究では、永続性ダイアグラム間の距離を推定するための量子コンピューターの可能性を調査し、特に $d^{c}_{p}$ 距離だけでなく Wasserstein 距離に対する変分量子アルゴリズムを提案します。
私たちの実装は、制御節に依存して最適化問題の制約をエンコードする量子近似最適化アルゴリズムの重み付けバージョンです。

要約(オリジナル)

Topological Data Analysis methods can be useful for classification and clustering tasks in many different fields as they can provide two dimensional persistence diagrams that summarize important information about the shape of potentially complex and high dimensional data sets. The space of persistence diagrams can be endowed with various metrics such as the Wasserstein distance which admit a statistical structure and allow to use these summaries for machine learning algorithms. However, computing the distance between two persistence diagrams involves finding an optimal way to match the points of the two diagrams and may not always be an easy task for classical computers. In this work we explore the potential of quantum computers to estimate the distance between persistence diagrams, in particular we propose variational quantum algorithms for the Wasserstein distance as well as the $d^{c}_{p}$ distance. Our implementation is a weighted version of the Quantum Approximate Optimization Algorithm that relies on control clauses to encode the constraints of the optimization problem.

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