A nonlinear elasticity model in computer vision

要約

この論文の目的は、$\R^n$ の有界で開いたサブセットとみなされる 2 つの画像を、関連するベクトル値の強度マップとともに比較するために著者によって以前に導入された非線形弾性モデルを分析することです。
画像間の最適な変換は、方向を保持する同型写像間の積分汎関数の最小化として求められます。
ミニマイザーの存在は、強度関数が測定可能に制限されているとのみ仮定して、自然保磁力および多凸条件下で証明されます。
存在定理の変形も証明されます。最初は 2 つの画像内のランドマーク点の有限セットが相互にマッピングされるという制約の下で、次に 1 つの画像が別の画像の未知の部分と比較される場合です。
線形マッピングによって関連付けられた画像について、その線形マッピングによって固有のミニマイザーが与えられるかどうかという問題が検討されます。
関数的被積分関数の自然なクラスについては、2 番目の画像が最初の画像を定数係数でスケーリングしたものである画像のペアに対してこの特性が保持されることを保証する例が示されています。
ただし、この特性が線形関連画像の任意のペアに対して保持されるためには、被積分関数がその行列式のみの凸関数として変換の勾配に依存する必要があることが示されています。
これは、被積分関数が変換の二次導関数にも依存する新しいモデルを示唆しており、最小化関数の存在が保証され、上記の特性が線形関連画像のすべてのペアに当てはまる例が示されています。

要約(オリジナル)

The purpose of this paper is to analyze a nonlinear elasticity model previously introduced by the authors for comparing two images, regarded as bounded open subsets of $\R^n$ together with associated vector-valued intensity maps. Optimal transformations between the images are sought as minimisers of an integral functional among orientation-preserving homeomorphisms. The existence of minimisers is proved under natural coercivity and polyconvexity conditions, assuming only that the intensity functions are bounded measurable. Variants of the existence theorem are also proved, first under the constraint that finite sets of landmark points in the two images are mapped one to the other, and second when one image is to be compared to an unknown part of another. The question is studied as to whether for images related by a linear mapping the unique minimizer is given by that linear mapping. For a natural class of functional integrands an example is given guaranteeing that this property holds for pairs of images in which the second is a scaling of the first by a constant factor. However for the property to hold for arbitrary pairs of linearly related images it is shown that the integrand has to depend on the gradient of the transformation as a convex function of its determinant alone. This suggests a new model in which the integrand depends also on second derivatives of the transformation, and an example is given for which both existence of minimizers is assured and the above property holds for all pairs of linearly related images.

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