Multilevel CNNs for Parametric PDEs based on Adaptive Finite Elements

要約

高次元のパラメータ依存偏微分方程式のマルチレベル特性を活用し、パラメータから解へのマップの効率的な近似を可能にし、低ランクのテンソル回帰などのクラス最高の手法に匹敵するニューラル ネットワーク アーキテクチャが紹介されています。
正確さと複雑さ。
ニューラル ネットワークは、適応的に洗練された有限要素メッシュ上のデータを使用してトレーニングされるため、データの複雑さが大幅に軽減されます。
誤差制御は、信頼性の高い有限要素の事後誤差推定器を使用することによって実現され、これもニューラル ネットワークへの入力として提供されます。
CNN 層を備えた提案された U-Net アーキテクチャは、古典的な有限要素マルチグリッド アルゴリズムを模倣しています。
CNN は、残差ベースの誤差推定器の評価を含む、ソルバーに必要なすべての操作を効率的に近似していることがわかります。
CNN では、各メッシュ レベルのリファインメントによる局所的な補正に従ってカリング マスクを設定することで全体の複雑さが軽減され、局所的な微細スケールの有限要素データによるネットワークの最適化が可能になります。
完全な収束と複雑さの分析が適応型マルチレベル スキームに対して実行されます。これは、以前の非適応型マルチレベル CNN とはいくつかの点で異なります。
さらに、Uncertainty Quantification による一般的なベンチマーク問題を使用した数値実験により、アーキテクチャの実際のパフォーマンスが示されます。

要約(オリジナル)

A neural network architecture is presented that exploits the multilevel properties of high-dimensional parameter-dependent partial differential equations, enabling an efficient approximation of parameter-to-solution maps, rivaling best-in-class methods such as low-rank tensor regression in terms of accuracy and complexity. The neural network is trained with data on adaptively refined finite element meshes, thus reducing data complexity significantly. Error control is achieved by using a reliable finite element a posteriori error estimator, which is also provided as input to the neural network. The proposed U-Net architecture with CNN layers mimics a classical finite element multigrid algorithm. It can be shown that the CNN efficiently approximates all operations required by the solver, including the evaluation of the residual-based error estimator. In the CNN, a culling mask set-up according to the local corrections due to refinement on each mesh level reduces the overall complexity, allowing the network optimization with localized fine-scale finite element data. A complete convergence and complexity analysis is carried out for the adaptive multilevel scheme, which differs in several aspects from previous non-adaptive multilevel CNN. Moreover, numerical experiments with common benchmark problems from Uncertainty Quantification illustrate the practical performance of the architecture.

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