Best of Both Worlds: Practical and Theoretically Optimal Submodular Maximization in Parallel

要約

サイズ $n$ の基底集合上の基数制約 $k$ に関して単調な部分モジュラー関数を最大化する問題に対して、経験的性能とその両方において最先端を達成するアルゴリズムを提供します。
適応の複雑さ、クエリの複雑さ、近似比に関する理論的特性。
つまり、期待値 $O(n)$ のクエリ複雑さ、$O(\log(n))$ の適応性、およびほぼ $1-1/e$ の近似比を高い確率で取得します。
主要なアルゴリズムは、独立して重要な 2 つのコンポーネントから組み立てられています。
アルゴリズムの最初のコンポーネントである LINEARSEQ は、多くのアルゴリズムのクエリの複雑さを改善するための前処理アルゴリズムとして役立ちます。
さらに、LINEARSEQ のバリアントは、文献にある以前のアルゴリズムよりも小さい $O( \log (n / k) )$ の適応複雑度を持つことが示されています。
2 番目のコンポーネントは、一定のしきい値を超えるゲインで要素を追加するための並列化可能なしきい値処理手順 THRESHOLDSEQ です。
最後に、6 つのサブモジュラー目的関数による包括的な評価において、実行時間、適応ラウンド、合計クエリ、および目的値の点で、メイン アルゴリズムが以前の最先端アルゴリズム FAST よりも優れていることを経験的に示します。

要約(オリジナル)

For the problem of maximizing a monotone, submodular function with respect to a cardinality constraint $k$ on a ground set of size $n$, we provide an algorithm that achieves the state-of-the-art in both its empirical performance and its theoretical properties, in terms of adaptive complexity, query complexity, and approximation ratio; that is, it obtains, with high probability, query complexity of $O(n)$ in expectation, adaptivity of $O(\log(n))$, and approximation ratio of nearly $1-1/e$. The main algorithm is assembled from two components which may be of independent interest. The first component of our algorithm, LINEARSEQ, is useful as a preprocessing algorithm to improve the query complexity of many algorithms. Moreover, a variant of LINEARSEQ is shown to have adaptive complexity of $O( \log (n / k) )$ which is smaller than that of any previous algorithm in the literature. The second component is a parallelizable thresholding procedure THRESHOLDSEQ for adding elements with gain above a constant threshold. Finally, we demonstrate that our main algorithm empirically outperforms, in terms of runtime, adaptive rounds, total queries, and objective values, the previous state-of-the-art algorithm FAST in a comprehensive evaluation with six submodular objective functions.

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