Stabilizer bootstrapping: A recipe for efficient agnostic tomography and magic estimation

要約

私たちは不可知論的トモグラフィーのタスクを研究します: 与えられたクラス $C$ のある状態との忠実度 $\tau$ を持つ未知の $n$-qubit 状態 $\rho$ のコピーが与えられたとき、忠実度 $\ge を持つ状態を見つけます
\tau – \epsilon$ と $\rho$。
このタスクの計算効率の高いプロトコルを設計するための新しいフレームワークであるスタビライザー ブートストラップを提供し、これを使用して次のクラスの新しい不可知論的断層撮影プロトコルを取得します。 スタビライザーの状態: 時間内に実行されるプロトコルを提供します $\mathrm{poly}(
n,1/\epsilon)\cdot (1/\tau)^{O(\log(1/\tau))}$、Grewal、Ayer、Kretschmer、Liang [40]、および Anshu によって提起された未解決の質問に答えています。
アルナーチャラム [6]。
以前のプロトコルは $\mathrm{exp}(\Theta(n))$ 以内に実行されるか、$\tau>\cos^2(\pi/8)$ が必要でした。
スタビライザー次元 $n – t$ を持つ状態: 最近の機能を拡張して、時間内に実行されるプロトコル $n^3\cdot(2^t/\tau)^{O(\log(1/\epsilon))}$ を与えます。
非クリフォードゲートをほとんど持たない回路によって準備された量子状態の学習に取り組みます。これは、$\tau = 1$ [30, 37, 46, 61] の実現可能な設定にのみ適用されます。
離散積状態: 単一量子ビット状態の $\mu$ で区切られた離散集合 $K$ に対して $C = K^{\otimes n}$ の場合、時間 $(n/\mu) で実行されるプロトコルが与えられます。
^{O((1 + \log (1/\tau))/\mu)}/\epsilon^2$。
これは、スタビライザー製品の状態に適用される事前保証を厳密に一般化したものです [39]。
スタビライザー製品の状態については、$(n^2/\epsilon^2)\cdot (1/\tau)^{O(\log(1/\tau))}$ で実行されるさらに改良されたプロトコルを提供します。
結果として、量子状態の魔法の標準的な尺度であるスタビライザーの忠実度を $n^3 \mathrm{quasipoly}(1/\epsilon)$ 時間で誤差 $\epsilon$ を推定するための最初のプロトコルを与えます。

要約(オリジナル)

We study the task of agnostic tomography: given copies of an unknown $n$-qubit state $\rho$ which has fidelity $\tau$ with some state in a given class $C$, find a state which has fidelity $\ge \tau – \epsilon$ with $\rho$. We give a new framework, stabilizer bootstrapping, for designing computationally efficient protocols for this task, and use this to get new agnostic tomography protocols for the following classes: Stabilizer states: We give a protocol that runs in time $\mathrm{poly}(n,1/\epsilon)\cdot (1/\tau)^{O(\log(1/\tau))}$, answering an open question posed by Grewal, Iyer, Kretschmer, Liang [40] and Anshu and Arunachalam [6]. Previous protocols ran in time $\mathrm{exp}(\Theta(n))$ or required $\tau>\cos^2(\pi/8)$. States with stabilizer dimension $n – t$: We give a protocol that runs in time $n^3\cdot(2^t/\tau)^{O(\log(1/\epsilon))}$, extending recent work on learning quantum states prepared by circuits with few non-Clifford gates, which only applied in the realizable setting where $\tau = 1$ [30, 37, 46, 61]. Discrete product states: If $C = K^{\otimes n}$ for some $\mu$-separated discrete set $K$ of single-qubit states, we give a protocol that runs in time $(n/\mu)^{O((1 + \log (1/\tau))/\mu)}/\epsilon^2$. This strictly generalizes a prior guarantee which applied to stabilizer product states [39]. For stabilizer product states, we give a further improved protocol that runs in time $(n^2/\epsilon^2)\cdot (1/\tau)^{O(\log(1/\tau))}$. As a corollary, we give the first protocol for estimating stabilizer fidelity, a standard measure of magic for quantum states, to error $\epsilon$ in $n^3 \mathrm{quasipoly}(1/\epsilon)$ time.

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