Parallel transport on matrix manifolds and Exponential Action

要約

行列の指数関数と指数作用の観点から、疑似リーマン計量のファミリーを使用して、いくつかの一般的な行列リー群の並列輸送を表現します。
並列トランスポートの式は、特定のシナリオで商を取ることによって保存されます。
特に、サイズ $n\times d$ の直交行列のシュティーフェル多様体の場合、時間 0 から $t$ まで測地線に沿った並列輸送の式を与えます。これは、時間計算量 $O(nd^
2) 小さい $t$ の場合は $、大きい t の場合は $O(td^3)$ であり、行列多様体における長年の未解決の問題の一歩に貢献します。
同様の結果が、正規計量を持つフラグ多様体にも当てはまります。
また、これらの計量のもとで、一般化線形群と特殊直交群の平行輸送公式も示します。

要約(オリジナル)

We express parallel transport for several common matrix Lie groups with a family of pseudo-Riemannian metrics in terms of matrix exponential and exponential actions. The expression for parallel transport is preserved by taking the quotient under certain scenarios. In particular, for a Stiefel manifold of orthogonal matrices of size $n\times d$, we give an expression for parallel transport along a geodesic from time zero to $t$, that could be computed with time complexity of $O(nd^2)$ for small $t$, and of $O(td^3)$ for large t, contributing a step in a long-standing open problem in matrix manifolds. A similar result holds for flag manifolds with the canonical metric. We also show the parallel transport formulas for the generalized linear group, and the special orthogonal group under these metrics.

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