Physics-constrained convolutional neural networks for inverse problems in spatiotemporal partial differential equations

要約

私たちは、非線形で空間と時間の両方で変化する偏微分方程式 (PDE) の 2 種類の逆問題を解くために、物理制約付き畳み込みニューラル ネットワーク (PC-CNN) を提案します。
最初の逆問題では、空間的に変化する系統誤差 (つまり、認識的不確実性とも呼ばれるバイアス) によってオフセットされたデータが与えられます。
課題は、偏ったデータから偏微分方程式の解である真の状態を明らかにすることです。
2 番目の逆問題では、PDE の解に関するまばらな情報が与えられます。
課題は、高解像度で空間内にソリューションを再構築することです。
まず、連続データを処理するために時間ウィンドウ スキームで PDE を制約する PC-CNN を紹介します。
次に、偏ったデータから解決策を発見するための PC-CNN のパフォーマンスを分析します。
私たちは、線形および非線形の対流拡散方程式と、乱流の時空間的にカオスなダイナミクスを支配するナビエ・ストークス方程式を解析します。
PC-CNN は、非凸関数としてパラメーター化されたさまざまなバイアスに対する真の解を正しく回復することがわかりました。
第三に、乱流のまばらな情報から解を再構築するための PC-CNN のパフォーマンスを分析します。
時空間カオス解を、それに含まれる情報のわずか 1\% から高解像度グリッド上に再構築します。
両方のタスクについて、ナビエ・ストークス解をさらに分析します。
推論された解には物理的なスペクトル エネルギーが含まれていますが、補間などの従来の方法には含まれていないことがわかりました。
この研究により、偏微分方程式の逆問題を解く機会が開かれます。

要約(オリジナル)

We propose a physics-constrained convolutional neural network (PC-CNN) to solve two types of inverse problems in partial differential equations (PDEs), which are nonlinear and vary both in space and time. In the first inverse problem, we are given data that is offset by spatially varying systematic error (i.e., the bias, also known as the epistemic uncertainty). The task is to uncover the true state, which is the solution of the PDE, from the biased data. In the second inverse problem, we are given sparse information on the solution of a PDE. The task is to reconstruct the solution in space with high-resolution. First, we present the PC-CNN, which constrains the PDE with a time-windowing scheme to handle sequential data. Second, we analyse the performance of the PC-CNN for uncovering solutions from biased data. We analyse both linear and nonlinear convection-diffusion equations, and the Navier-Stokes equations, which govern the spatiotemporally chaotic dynamics of turbulent flows. We find that the PC-CNN correctly recovers the true solution for a variety of biases, which are parameterised as non-convex functions. Third, we analyse the performance of the PC-CNN for reconstructing solutions from sparse information for the turbulent flow. We reconstruct the spatiotemporal chaotic solution on a high-resolution grid from only < 1\% of the information contained in it. For both tasks, we further analyse the Navier-Stokes solutions. We find that the inferred solutions have a physical spectral energy content, whereas traditional methods, such as interpolation, do not. This work opens opportunities for solving inverse problems with partial differential equations.

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