Neural networks for bifurcation and linear stability analysis of steady states in partial differential equations

要約

この研究では、非線形偏微分方程式 (PDE) を解くためのニューラル ネットワークの拡張アプリケーションを紹介します。
疑似弧長継続と組み合わせたニューラル ネットワークは、パラメーター化された非線形偏微分方程式から分岐図を構築するために提案されています。
さらに、最大固有値の特定に焦点を当てて、固有値問題を解決して解の線形安定性を分析するためのニューラル ネットワーク アプローチも紹介します。
提案されたニューラル ネットワークの有効性は、Bratu 方程式と Burgers 方程式の実験を通じて検証されます。
有限差分法の結果も比較として示します。
ニューラル ネットワークと有限差分法の両方の動作と精度を評価するために、それぞれのケースでさまざまな数のグリッド ポイントが使用されます。
実験結果は、提案されたニューラル ネットワークがより優れた解を生成し、より正確な分岐図を生成し、妥当な計算時間を持ち、線形安定性解析に効果的であることを示しています。

要約(オリジナル)

This research introduces an extended application of neural networks for solving nonlinear partial differential equations (PDEs). A neural network, combined with a pseudo-arclength continuation, is proposed to construct bifurcation diagrams from parameterized nonlinear PDEs. Additionally, a neural network approach is also presented for solving eigenvalue problems to analyze solution linear stability, focusing on identifying the largest eigenvalue. The effectiveness of the proposed neural network is examined through experiments on the Bratu equation and the Burgers equation. Results from a finite difference method are also presented as comparison. Varying numbers of grid points are employed in each case to assess the behavior and accuracy of both the neural network and the finite difference method. The experimental results demonstrate that the proposed neural network produces better solutions, generates more accurate bifurcation diagrams, has reasonable computational times, and proves effective for linear stability analysis.

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