Localization from structured distance matrices via low-rank matrix recovery

要約

アンカーノードと呼ばれる $m$ ノードまでの距離を使用して $n$ 点の構成を決定する問題を研究します。
サンプリング スキームの 1 つは Nystrom サンプリングです。これは、アンカー間およびアンカーと $n$ ポイント間の距離は既知であると仮定しますが、$n$ ポイント間の距離は不明です。
このスキームでは、カーネル近似によく使用される Nystrom 法の簡単な適応が、アンカーと $n$ ポイントの構成を推定するための実行可能な手法です。
この原稿では、すべてのノードから 1 つの中心ノードまでの距離はわかっていますが、他の距離はすべて不完全である、Nystrom サンプリングの修正バージョンを提案します。
この設定では、標準的な Nystrom アプローチは適用できないため、アンカーと $n$ ポイントの構成を推定するための代替手法が必要になります。
我々は、この問題がグラム行列の低ランク部分行列の回復として組み立てられることを示します。
合成データと実際のデータを使用して、提案されたアプローチが十分な距離サンプルが与えられた場合に点の構成を正確に復元できることを実証します。
これは、距離行列のグローバル サンプリングに依存する方法とは対照的に、点の構成を推定するタスクは、適切に選択された信頼性の高いアンカーを使用した構造化サンプリングによって効率的に実行できることを強調しています。
最後に、私たちの主な分析は、ポイントの特定の中心に基づいています。
これを念頭に置いて、任意の中心にある点に対する一般的な二重基底アプローチを提供することで、ユークリッド距離幾何学の以前の研究を拡張しました。

要約(オリジナル)

We study the problem of determining the configuration of $n$ points by using their distances to $m$ nodes, referred to as anchor nodes. One sampling scheme is Nystrom sampling, which assumes known distances between the anchors and between the anchors and the $n$ points, while the distances among the $n$ points are unknown. For this scheme, a simple adaptation of the Nystrom method, which is often used for kernel approximation, is a viable technique to estimate the configuration of the anchors and the $n$ points. In this manuscript, we propose a modified version of Nystrom sampling, where the distances from every node to one central node are known, but all other distances are incomplete. In this setting, the standard Nystrom approach is not applicable, necessitating an alternative technique to estimate the configuration of the anchors and the $n$ points. We show that this problem can be framed as the recovery of a low-rank submatrix of a Gram matrix. Using synthetic and real data, we demonstrate that the proposed approach can exactly recover configurations of points given sufficient distance samples. This underscores that, in contrast to methods that rely on global sampling of distance matrices, the task of estimating the configuration of points can be done efficiently via structured sampling with well-chosen reliable anchors. Finally, our main analysis is grounded in a specific centering of the points. With this in mind, we extend previous work in Euclidean distance geometry by providing a general dual basis approach for points centered anywhere.

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