Ironing the Graphs: Toward a Correct Geometric Analysis of Large-Scale Graphs

要約

グラフ埋め込みアプローチは、グラフを幾何学的エンティティ、つまり多様体に投影しようとします。
この考え方は、投影された多様体の幾何学的特性がグラフの特性の推論に役立つというものです。
ただし、埋め込み多様体の選択が誤って実行されると、不正確な幾何学的推論につながる可能性があります。
この論文では、古典的な埋め込み技術では多様体の各点の曲率を見逃すため、正しい幾何学的解釈を導くことができないと主張します。
私たちは、正しい幾何学的解釈を行うために、グラフの埋め込みは規則的な一定曲率多様体上で実行されるべきであると主張します。
この目的を達成するために、我々は、グラフ内のノード間の距離を調整する離散リッチ フローに基づく離散リッチ フロー グラフ エンベディング (dRfge) という埋め込みアプローチを提案します。これにより、グラフを均一で一定の曲率多様体に埋め込むことができます。
等方性、つまりすべての方向が等しく、距離が同等であるため、正しい幾何学的解釈が得られます。
この論文の主な貢献は、離散リッチ流が一定の曲率とエッジ上の安定した距離計量に収束することを初めて証明したことです。
離散リッチ フローを使用する場合の欠点は、計算の複雑さが高く、大規模なグラフ解析での使用が妨げられることです。
この論文のもう 1 つの貢献は、最大 50,000 ノード以上のグラフの Ricci フローの計算を可能にする新しいアルゴリズム ソリューションです。
離散リッチ フローの背後にある直観により、大規模なグラフの構造について新たな洞察を得ることが可能になります。
このことを、BGP レベルで国家間のインターネット接続構造を分析するケーススタディを通じて実証します。

要約(オリジナル)

Graph embedding approaches attempt to project graphs into geometric entities, i.e, manifolds. The idea is that the geometric properties of the projected manifolds are helpful in the inference of graph properties. However, if the choice of the embedding manifold is incorrectly performed, it can lead to incorrect geometric inference. In this paper, we argue that the classical embedding techniques cannot lead to correct geometric interpretation as they miss the curvature at each point, of manifold. We advocate that for doing correct geometric interpretation the embedding of graph should be done over regular constant curvature manifolds. To this end, we present an embedding approach, the discrete Ricci flow graph embedding (dRfge) based on the discrete Ricci flow that adapts the distance between nodes in a graph so that the graph can be embedded onto a constant curvature manifold that is homogeneous and isotropic, i.e., all directions are equivalent and distances comparable, resulting in correct geometric interpretations. A major contribution of this paper is that for the first time, we prove the convergence of discrete Ricci flow to a constant curvature and stable distance metrics over the edges. A drawback of using the discrete Ricci flow is the high computational complexity that prevented its usage in large-scale graph analysis. Another contribution of this paper is a new algorithmic solution that makes it feasible to calculate the Ricci flow for graphs of up to 50k nodes, and beyond. The intuitions behind the discrete Ricci flow make it possible to obtain new insights into the structure of large-scale graphs. We demonstrate this through a case study on analyzing the internet connectivity structure between countries at the BGP level.

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