Adding Circumscription to Decidable Fragments of First-Order Logic: A Complexity Rollercoaster

要約

私たちは、外接を伴う一次論理の表現可能な決定可能なフラグメントの拡張、特に 2 変数フラグメント FO$^2$、計数量指定子を備えたその拡張 C$^2$、および保護フラグメント GF を研究します。
限定中に単項述語のみが最小化 (または固定) された場合、論理的結果の決定可能性が維持されることを証明します。
FO$^2$ の場合、複雑さは $\textrm{coNexp}$ から $\textrm{coNExp}^\textrm{NP}$-complete に増加します。GF の場合、複雑さは $\textrm{2Exp}$ から (驚くほど!) 増加します。
$\textrm{Tower}$-complete まで、C$^2$ の場合、複雑さは未解決のままです。
また、オントロジーが GF 文である制限付き知識ベースのクエリについても検討します。これは、問題が論理積クエリの和集合、結合複雑さでは $\textrm{Tower}$-complete、データ複雑さでは初歩的である場合に決定可能であることを示します。
保護された存在ルールのセットであるアトミックなクエリとオントロジーはすでに存在しますが、$k \geq 0$ ごとに、データの複雑さが $k$-$\textrm{Exp}$ 難しいオントロジーとクエリが存在します。

要約(オリジナル)

We study extensions of expressive decidable fragments of first-order logic with circumscription, in particular the two-variable fragment FO$^2$, its extension C$^2$ with counting quantifiers, and the guarded fragment GF. We prove that if only unary predicates are minimized (or fixed) during circumscription, then decidability of logical consequence is preserved. For FO$^2$ the complexity increases from $\textrm{coNexp}$ to $\textrm{coNExp}^\textrm{NP}$-complete, for GF it (remarkably!) increases from $\textrm{2Exp}$ to $\textrm{Tower}$-complete, and for C$^2$ the complexity remains open. We also consider querying circumscribed knowledge bases whose ontology is a GF sentence, showing that the problem is decidable for unions of conjunctive queries, $\textrm{Tower}$-complete in combined complexity, and elementary in data complexity. Already for atomic queries and ontologies that are sets of guarded existential rules, however, for every $k \geq 0$ there is an ontology and query that are $k$-$\textrm{Exp}$-hard in data complexity.

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