要約
最近、カークパトリックら。
[ALT 2019] および Fallat et al.
[JMLR 2023] は非衝突教示を導入し、それが Goldman-Mathias の共謀回避基準を満たす最も効率的な機械教示モデルであることを示しました。
概念クラス $\mathcal{C}$ の教師マップ $T$ は、例の (教師) セット $T(C)$ を各概念 $C \in \mathcal{C}$ に割り当てます。
どの概念のペアもそれらの教育セットの和集合と一致しない場合、教育マップは非衝突です。
非衝突教師マップ (NCTM) $T$ のサイズは、教師セット $T(C)$, $C \in \mathcal{C}$ の最大サイズです。
$\mathcal{C}$ の非衝突教示次元 NCTD$(\mathcal{C})$ は、$\mathcal{C}$ の NCTM の最小サイズです。
NCTM$^+$ と NCTD$^+(\mathcal{C})$ は、教師が肯定的な例のみを使用できる点を除いて、同様に定義されます。
グラフ $G$ のすべての球から構成される概念クラス $\mathcal{B}(G)$ の NCTM と NCTM$^+$s を研究します。
NCTD$^+$ に関連する決定問題 B-NCTD$^+$ が、分割グラフ、共二部グラフ、および二部グラフにおいて NP 完全であることを示します。
驚くべきことに、ETH が失敗しない限り、B-NCTD$^+$ は時間通りにアルゴリズムを実行することを許可しないことさえ証明しました $2^{2^{o(\text{vc})}}\cdot n^{O(
1)}$、または $2^{o(\text{vc})}$ 頂点を持つカーネルを出力するカーネル化アルゴリズム。ここで、vc は $G$ の頂点カバー番号です。
これらの下限を対応する上限で補完します。
これらは非常にまれな結果です。vc によってパラメータ化されたこのような厳密な二重指数下限を認めるのは NP の 2 番目の問題に過ぎず、頂点数に関するこのような ETH ベースの条件付き下限を認めるのは非常に数少ない問題の 1 つにすぎません。
カーネル内で。
ツリー、区間グラフ、サイクル、およびサイクルのツリーについては、VC 次元に比例するサイズの $\mathcal{B}(G)$ の NCTM$^+$s または NCTM を導出します。グロモフ双曲グラフの場合は、
サイズ 2 のおおよその NCTM$^+$ を設計します。
要約(オリジナル)
Recently, Kirkpatrick et al. [ALT 2019] and Fallat et al. [JMLR 2023] introduced non-clashing teaching and showed it is the most efficient machine teaching model satisfying the Goldman-Mathias collusion-avoidance criterion. A teaching map $T$ for a concept class $\mathcal{C}$ assigns a (teaching) set $T(C)$ of examples to each concept $C \in \mathcal{C}$. A teaching map is non-clashing if no pair of concepts are consistent with the union of their teaching sets. The size of a non-clashing teaching map (NCTM) $T$ is the maximum size of a teaching set $T(C)$, $C \in \mathcal{C}$. The non-clashing teaching dimension NCTD$(\mathcal{C})$ of $\mathcal{C}$ is the minimum size of an NCTM for $\mathcal{C}$. NCTM$^+$ and NCTD$^+(\mathcal{C})$ are defined analogously, except the teacher may only use positive examples. We study NCTMs and NCTM$^+$s for the concept class $\mathcal{B}(G)$ consisting of all balls of a graph $G$. We show that the associated decision problem B-NCTD$^+$ for NCTD$^+$ is NP-complete in split, co-bipartite, and bipartite graphs. Surprisingly, we even prove that, unless the ETH fails, B-NCTD$^+$ does not admit an algorithm running in time $2^{2^{o(\text{vc})}}\cdot n^{O(1)}$, nor a kernelization algorithm outputting a kernel with $2^{o(\text{vc})}$ vertices, where vc is the vertex cover number of $G$. We complement these lower bounds with matching upper bounds. These are extremely rare results: it is only the second problem in NP to admit such a tight double-exponential lower bound parameterized by vc, and only one of very few problems to admit such an ETH-based conditional lower bound on the number of vertices in a kernel. For trees, interval graphs, cycles, and trees of cycles, we derive NCTM$^+$s or NCTMs for $\mathcal{B}(G)$ of size proportional to its VC-dimension, and for Gromov-hyperbolic graphs, we design an approximate NCTM$^+$ of size 2.
arxiv情報
| 著者 | Jérémie Chalopin,Victor Chepoi,Fionn Mc Inerney,Sébastien Ratel |
| 発行日 | 2024-07-29 14:10:52+00:00 |
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