Wasserstein approximation schemes based on Voronoi partitions

要約

から導出されたボロノイ領域でコンパクトにサポートされる一般測度近似を使用して、Wasserstein 空間 $\mathrm{W}_p(\mathbb{R}^d)$ for $p\in[1,\infty)$ の測度の構造化近似を検討します。
$\mathbb{R}^d$ のスケーリングされたボロノイ分割。
フルランク格子 $\Lambda$ が $h\in(0,1]$ の係数でスケーリングされる場合、$h\Lambda$ のボロノイ分割に基づくメジャーの近似は $O(h
次に、カバー引数を使用して、コンパクトにサポートされるメジャーの $N$ 項近似が $O(N^{-\frac1d})$ であることを示します。これは、最適な既知のレートと一致します。
さらに、さまざまな測定近似シナリオに対するアプローチの柔軟性と堅牢性を強調し、これらの結果を十分な減衰を伴う非コンパクトな測定に拡張します。
これらは、画像などの構造化データを表すためにメジャーが使用されるコンピューター ビジョンや機械学習のアプリケーションに関連します。

要約(オリジナル)

We consider structured approximation of measures in Wasserstein space $\mathrm{W}_p(\mathbb{R}^d)$ for $p\in[1,\infty)$ using general measure approximants compactly supported on Voronoi regions derived from a scaled Voronoi partition of $\mathbb{R}^d$. We show that if a full rank lattice $\Lambda$ is scaled by a factor of $h\in(0,1]$, then approximation of a measure based on the Voronoi partition of $h\Lambda$ is $O(h)$ regardless of $d$ or $p$. We then use a covering argument to show that $N$-term approximations of compactly supported measures is $O(N^{-\frac1d})$ which matches known rates for optimal quantizers and empirical measure approximation in most instances. Additionally, we generalize our construction to nonuniform Voronoi partitions, highlighting the flexibility and robustness of our approach for various measure approximation scenarios. Finally, we extend these results to noncompactly supported measures with sufficient decay. Our findings are pertinent to applications in computer vision and machine learning where measures are used to represent structured data such as images.

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