Physics-informed Information Field Theory for Modeling Physical Systems with Uncertainty Quantification

要約

物理的な知識と組み合わせたデータ駆動型のアプローチは、システムをモデル化するための強力な手法です。
このようなモデルの目標は、測定値と既知の物理法則を組み合わせることによって、基礎となるフィールドを効率的に解くことです。
多くのシステムには、パラメータの欠落、ノイズの多いデータ、不完全な物理法則などの未知の要素が含まれているため、これは不確実性の定量化問題として広くアプローチされています。
すべての変数を処理する一般的な手法は、通常、事後関数を近似するために使用される数値スキームに依存しており、そのような離散化から独立した方法を持つことが望ましいです。
情報場理論 (IFT) は、必ずしもガウス分布ではないフィールドに対して統計を実行するために必要なツールを提供します。
私たちは、場を記述する物理法則に関する情報を使用して関数事前分布をエンコードすることにより、IFT を物理情報に基づく IFT (PIFT) に拡張します。
この PIFT から導出された事後分布は、数値スキームから独立したままであり、複数のモードを捉えることができるため、不適切な設定の問題の解決が可能になります。
クライン・ゴードン方程式を含む解析例を通じて、私たちのアプローチを示します。
次に、確率的勾配ランジュバン ダイナミクスのバリアントを開発して、フィールドとモデル パラメーターにわたって関節事後からサンプルを抽出します。
私たちの方法を、さまざまな程度のモデル形式誤差を持つ数値例と、非線形微分方程式を含む逆問題に適用します。
補足として、この方法には事後分析でモデル形式の不確実性を自動的に定量化できるメトリックが装備されています。
このため、私たちの数値実験では、十分なデータが与えられた物理学の不正確な表現に対してもこの方法が堅牢であることが示されています。
我々は、この方法が物理学が信頼できない場合を正確に特定し、その場合には場の学習を回帰問題として自動的に処理することを数値的に示します。

要約(オリジナル)

Data-driven approaches coupled with physical knowledge are powerful techniques to model systems. The goal of such models is to efficiently solve for the underlying field by combining measurements with known physical laws. As many systems contain unknown elements, such as missing parameters, noisy data, or incomplete physical laws, this is widely approached as an uncertainty quantification problem. The common techniques to handle all the variables typically depend on the numerical scheme used to approximate the posterior, and it is desirable to have a method which is independent of any such discretization. Information field theory (IFT) provides the tools necessary to perform statistics over fields that are not necessarily Gaussian. We extend IFT to physics-informed IFT (PIFT) by encoding the functional priors with information about the physical laws which describe the field. The posteriors derived from this PIFT remain independent of any numerical scheme and can capture multiple modes, allowing for the solution of problems which are ill-posed. We demonstrate our approach through an analytical example involving the Klein-Gordon equation. We then develop a variant of stochastic gradient Langevin dynamics to draw samples from the joint posterior over the field and model parameters. We apply our method to numerical examples with various degrees of model-form error and to inverse problems involving nonlinear differential equations. As an addendum, the method is equipped with a metric which allows the posterior to automatically quantify model-form uncertainty. Because of this, our numerical experiments show that the method remains robust to even an incorrect representation of the physics given sufficient data. We numerically demonstrate that the method correctly identifies when the physics cannot be trusted, in which case it automatically treats learning the field as a regression problem.

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