$A^*$ for Graphs of Convex Sets

要約

我々は、凸集合グラフにおける最短経路問題 (SPP-GCS) の最適性の保証と最適に近い経路を見つけるために、既存の凸計画法ベースのアプローチとヒューリスティック情報を融合する新しいアルゴリズムを提案します。
$A^*$ からインスピレーションを得た私たちの方法は、頂点の指定されたサブセットから最良優先のような手順を開始し、それ以上の成長が不可能または有益でなくなるまで繰り返し拡張します。
従来、最適化問題の境界のある解を取得するには、緩和を解き、緩和された解を実行可能な解に変更し、次に 2 つの解を比較して境界を確立する必要があります。
ただし、SPP-GCS の場合、特にユークリッド旅行コストの場合、このプロセスを逆にするとより有利になる可能性があることを示します。
言い換えれば、最初に $A^*$ を使用して SPP-GCS の実行可能な解を見つけ、次に $A^*$ によって探索された頂点に限定された凸緩和を解いて緩和解を取得し、最後に解を比較します。
限界を導き出すために。
数値結果を提示して、解決される凸プログラムのサイズと計算時間の点で、既存のアプローチに対するアルゴリズムの利点を強調します。

要約(オリジナル)

We present a novel algorithm that fuses the existing convex-programming based approach with heuristic information to find optimality guarantees and near-optimal paths for the Shortest Path Problem in the Graph of Convex Sets (SPP-GCS). Our method, inspired by $A^*$, initiates a best-first-like procedure from a designated subset of vertices and iteratively expands it until further growth is neither possible nor beneficial. Traditionally, obtaining solutions with bounds for an optimization problem involves solving a relaxation, modifying the relaxed solution to a feasible one, and then comparing the two solutions to establish bounds. However, for SPP-GCS, we demonstrate that reversing this process can be more advantageous, especially with Euclidean travel costs. In other words, we initially employ $A^*$ to find a feasible solution for SPP-GCS, then solve a convex relaxation restricted to the vertices explored by $A^*$ to obtain a relaxed solution, and finally, compare the solutions to derive bounds. We present numerical results to highlight the advantages of our algorithm over the existing approach in terms of the sizes of the convex programs solved and computation time.

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