Two Results on LPT: A Near-Linear Time Algorithm and Parcel Delivery using Drones

要約

このペーパーの焦点は、Longest Processing Time First (LPT) ヒューリスティックについての理解を深めることです。
LPT は、均一なマシン スケジューリングの基本的な問題に対する古典的なヒューリスティックです。
異なるマシン速度に対して、LPT は Gonzalez らによって最初に検討されました (SIAM J. Computing、1977)。
それ以来、LPT ヒューリスティックの近似係数を改善するために広範な作業が行われてきました。
ただし、LPT ヒューリスティックの既知の実装はすべて $O(mn)$ 時間かかります。ここで、$m$ はマシンの数、$n$ はジョブの数です。
この作業では、LPT に対する初めての線形に近い時間の実装を考え出しました。
具体的には、実行時間は $O((n+m)(\log^2{m}+\log{n}))$ です。
少し驚くべきことに、この結果は、問題を線の下側包絡線の動的維持にマッピングすることによって得られ、これは計算幾何学のコミュニティでよく研究されています。
私たちの 2 番目の貢献は、ドローン倉庫問題 (DWP) に対する LPT のパフォーマンスを分析することです。DWP は、倉庫からのドローン ベースの小包配送によって引き起こされる均一な機械のスケジューリング問題の自然な一般化です。
この問題では、倉庫に複数のドローンがあり、複数の顧客に荷物を配達したいと考えています。
各ドローンは倉庫から荷物を取り出し、配達し、倉庫に戻ります（そこで充電も可能です）。
ドローンの速度とバッテリー寿命は異なる場合があり、バッテリー寿命には限りがあるため、各ドローンが荷物を配達できる範囲は限られています。
目標は、すべての荷物の配達にかかる時間を最小限に抑えるために、荷物をドローンに割り当てることです。
LPT ヒューリスティックを介してこの問題を解決する自然なアプローチには、$\phi$ の近似係数があることを証明します。ここで、$\phi \about 1.62$ が黄金比です。

要約(オリジナル)

The focus of this paper is to increase our understanding of the Longest Processing Time First (LPT) heuristic. LPT is a classical heuristic for the fundamental problem of uniform machine scheduling. For different machine speeds, LPT was first considered by Gonzalez et al (SIAM J. Computing, 1977). Since then, extensive work has been done to improve the approximation factor of the LPT heuristic. However, all known implementations of the LPT heuristic take $O(mn)$ time, where $m$ is the number of machines and $n$ is the number of jobs. In this work, we come up with the first near-linear time implementation for LPT. Specifically, the running time is $O((n+m)(\log^2{m}+\log{n}))$. Somewhat surprisingly, the result is obtained by mapping the problem to dynamic maintenance of lower envelope of lines, which has been well studied in the computational geometry community. Our second contribution is to analyze the performance of LPT for the Drones Warehouse Problem (DWP), which is a natural generalization of the uniform machine scheduling problem motivated by drone-based parcel delivery from a warehouse. In this problem, a warehouse has multiple drones and wants to deliver parcels to several customers. Each drone picks a parcel from the warehouse, delivers it, and returns to the warehouse (where it can also get charged). The speeds and battery lives of the drones could be different, and due to the limited battery life, each drone has a bounded range in which it can deliver parcels. The goal is to assign parcels to the drones so that the time taken to deliver all the parcels is minimized. We prove that the natural approach of solving this problem via the LPT heuristic has an approximation factor of $\phi$, where $\phi \approx 1.62$ is the golden ratio.

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