On the Matrix Form of the Quaternion Fourier Transform and Quaternion Convolution

要約

私たちは、フーリエ変換と畳み込み演算の四元数バージョンの行列形式を研究します。
クォータニオンは強力な表現単位を提供しますが、クォータニオンの乗算の非可換性に主に起因する使用上の困難に関連しており、そのため $\mu^2 = -1$ はクォータニオン領域で無限の解を持ちます。
したがって、四元数行列の処理はいくつかの側面 (固有構造、行列式など) で複雑になります。
私たちの研究結果は、四元数フーリエ変換行列と標準 (複素) 離散フーリエ変換行列の関係、およびよく知られている複素領域定理が四元数に拡張される範囲を明らかにします。
特に、四元数フーリエ変換行列と四元数循環行列 (四元数畳み込みを表す) の関係、および後者の固有構造に焦点を当てます。
私たちの理論的結果を直接利用する概念実証アプリケーションが提示され、そこでは四元数畳み込みニューラル ネットワークのリプシッツ定数を制限する方法が提示されます。
コードは \url{https://github.com/sfikas/quaternion-fourier-convolution-matrix} で公開されています。

要約(オリジナル)

We study matrix forms of quaternionic versions of the Fourier Transform and Convolution operations. Quaternions offer a powerful representation unit, however they are related to difficulties in their use that stem foremost from non-commutativity of quaternion multiplication, and due to that $\mu^2 = -1$ possesses infinite solutions in the quaternion domain. Handling of quaternionic matrices is consequently complicated in several aspects (definition of eigenstructure, determinant, etc.). Our research findings clarify the relation of the Quaternion Fourier Transform matrix to the standard (complex) Discrete Fourier Transform matrix, and the extend on which well-known complex-domain theorems extend to quaternions. We focus especially on the relation of Quaternion Fourier Transform matrices to Quaternion Circulant matrices (representing quaternionic convolution), and the eigenstructure of the latter. A proof-of-concept application that makes direct use of our theoretical results is presented, where we present a method to bound the Lipschitz constant of a Quaternionic Convolutional Neural Network. Code is publicly available at: \url{https://github.com/sfikas/quaternion-fourier-convolution-matrix}.

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