Principal Component Flow Map Learning of PDEs from Incomplete, Limited, and Noisy Data

要約

我々は、高次元の不均一格子上で部分的に観測された偏微分方程式（PDE）をモデル化するという困難な問題に焦点を当てて、力学系の発展を縮小基底でモデル化するための計算手法を紹介します。
私たちは、実世界のアプリケーションでのデータ収集シナリオに向けて移行するために、ノイズの多い限られたデータに焦点を当てるという意味で、データ駆動型のフロー マップ学習に関するこれまでの研究の限界に対処します。
モーダル空間および節点空間で偏微分方程式をモデリングする最近の研究を活用して、状態変数または計算領域のサブセットでのみ利用可能なノイズが多く限られたデータを使用した偏微分方程式モデリングに適したニューラル ネットワーク構造を提示します。
特に、空間格子点測定値は、学習された線形変換を使用して削減され、その後、節点空間に変換されて戻される前に、この削減された基底でダイナミクスが学習されます。
このアプローチにより、節点空間学習のための以前のフロー マップ モデルと比較して、ニューラル ネットワークのパラメーター化が大幅に削減されます。
これにより、主にトレーニング データ セットを小さくすることができますが、トレーニング時間の短縮も可能になります。

要約(オリジナル)

We present a computational technique for modeling the evolution of dynamical systems in a reduced basis, with a focus on the challenging problem of modeling partially-observed partial differential equations (PDEs) on high-dimensional non-uniform grids. We address limitations of previous work on data-driven flow map learning in the sense that we focus on noisy and limited data to move toward data collection scenarios in real-world applications. Leveraging recent work on modeling PDEs in modal and nodal spaces, we present a neural network structure that is suitable for PDE modeling with noisy and limited data available only on a subset of the state variables or computational domain. In particular, spatial grid-point measurements are reduced using a learned linear transformation, after which the dynamics are learned in this reduced basis before being transformed back out to the nodal space. This approach yields a drastically reduced parameterization of the neural network compared with previous flow map models for nodal space learning. This primarily allows for smaller training data sets, but also enables reduced training times.

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