Backstepping Neural Operators for $2\times 2$ Hyperbolic PDEs

要約

一般に DeepONet と呼ばれる非線形演算子のディープニューラルネットワーク近似は、単一の Goursat 形 PDE が単一のフィードバック利得関数を支配する PDE バックステッピング設計を近似できることが証明されています。連成PDEの境界制御では、連成グルサット形式PDEが2つ以上のゲインカーネルを支配する。本論文では、Goursat形式の2倍2$カーネルPDE系が制御される単純な対対輻輳する2倍2$連立方程式系を考察することにより、双曲線PDEプラントのゲインカーネルPDE系の近似を探求する。工学的応用としては、石油掘削、浅海波のSaint-Venantモデル、混雑した交通流におけるストップ・アンド・ゴーの不安定性のAw-Rascle-Zhangモデルなどがある。合計5つのプラントPDE関数係数からカーネルPDE解への写像の連続性を確立し、カーネルPDEに対する任意に近いDeepONet近似の存在を証明し、正確なバックステッピングゲインカーネルを置き換えたときに、DeepONet近似ゲインが安定化を保証することを保証する。アンチコロケートされた境界の作動とセンシングを考慮して、我々の$L^2$-グローバル指数関数的に安定化する(GES)近似ゲインカーネルベースの出力フィードバック設計は、コントローラのゲインとオブザーバのゲインの両方の深い学習を意味する。さらに、出力フィードバック則をDeepONetにエンコードすることで、準大域的実用指数安定性（SG-PES）が保証される。DeepONet演算子は、コントローラゲインの計算を数桁高速化します。理論的に証明された安定化能力をシミュレーションで実証。

要約(オリジナル)

Deep neural network approximation of nonlinear operators, commonly referred to as DeepONet, has proven capable of approximating PDE backstepping designs in which a single Goursat-form PDE governs a single feedback gain function. In boundary control of coupled PDEs, coupled Goursat-form PDEs govern two or more gain kernels-a PDE structure unaddressed thus far with DeepONet. In this paper, we explore the subject of approximating systems of gain kernel PDEs for hyperbolic PDE plants by considering a simple counter-convecting $2\times 2$ coupled system in whose control a $2\times 2$ kernel PDE system in Goursat form arises. Engineering applications include oil drilling, the Saint-Venant model of shallow water waves, and the Aw-Rascle-Zhang model of stop-and-go instability in congested traffic flow. We establish the continuity of the mapping from a total of five plant PDE functional coefficients to the kernel PDE solutions, prove the existence of an arbitrarily close DeepONet approximation to the kernel PDEs, and ensure that the DeepONet-approximated gains guarantee stabilization when replacing the exact backstepping gain kernels. Taking into account anti-collocated boundary actuation and sensing, our $L^2$-Globally-exponentially stabilizing (GES) approximate gain kernel-based output feedback design implies the deep learning of both the controller’s and the observer’s gains. Moreover, the encoding of the output-feedback law into DeepONet ensures semi-global practical exponential stability (SG-PES). The DeepONet operator speeds up the computation of the controller gains by multiple orders of magnitude. Its theoretically proven stabilizing capability is demonstrated through simulations.

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