The G-invariant graph Laplacian

要約

多様体上にあるデータに対するグラフ ラプラシアン ベースのアルゴリズムは、次元削減、クラスタリング、ノイズ除去などのタスクに効果的であることが証明されています。
この研究では、既知のユニタリ行列リー群 G の作用下で閉じられた多様体上にデータ点が存在するデータセットを考慮します。私たちは、グラフ ラプラシアンを、
データセットに対する G のアクション。
後者の構築を「G 不変グラフ ラプラシアン」(G-GL) とみなします。
G-GL がデータ多様体上のラプラス ベルトラミ演算子に収束し、指定されたデータセット内の点間の距離のみを利用する標準グラフ ラプラシアンと比較して大幅に改善された収束率を享受できることを示します。
さらに、G-GL では、グループ要素と特定の行列の固有ベクトルの間の特定の積の形式を持つ一連の固有関数が許容され、FFT タイプのアルゴリズムを使用してデータから効率的に推定できることを示します。
特別なユニタリー群 SU(2) の作用下で閉じられたノイズの多い多様体上​​のデータをフィルタリングする問題について、私たちの構築とその利点を実証します。

要約(オリジナル)

Graph Laplacian based algorithms for data lying on a manifold have been proven effective for tasks such as dimensionality reduction, clustering, and denoising. In this work, we consider data sets whose data points lie on a manifold that is closed under the action of a known unitary matrix Lie group G. We propose to construct the graph Laplacian by incorporating the distances between all the pairs of points generated by the action of G on the data set. We deem the latter construction the “G-invariant Graph Laplacian” (G-GL). We show that the G-GL converges to the Laplace-Beltrami operator on the data manifold, while enjoying a significantly improved convergence rate compared to the standard graph Laplacian which only utilizes the distances between the points in the given data set. Furthermore, we show that the G-GL admits a set of eigenfunctions that have the form of certain products between the group elements and eigenvectors of certain matrices, which can be estimated from the data efficiently using FFT-type algorithms. We demonstrate our construction and its advantages on the problem of filtering data on a noisy manifold closed under the action of the special unitary group SU(2).

arxiv情報

提供元, 利用サービス

arxiv.jp, Google