Second Maximum of a Gaussian Random Field and Exact (t-)Spacing test

要約

この記事では、リーマン部分多様体上のガウスランダム場の 2 番目の最大値という新しい概念を紹介します。
この 2 番目の最大値は、最大値の分布を特徴付けるための強力なツールとして機能します。
アドホックな Kac Rice 式を利用することで、リーマン ヘッセ行列の 2 番目の最大値と回帰成分を条件として、最大値の分布の明示的な形式を導き出します。
このアプローチにより、これらの最大値間の間隔の評価に基づいた正確なテストが行​​われます。これを間隔テストと呼びます。
ガウス対称テンソル、連続スパース デコンボリューション、および滑らかな整流器を備えた 2 層ニューラル ネットワーク内のスパース代替案の検出におけるこのテストの適用性を調査します。
我々の理論的結果は、提案されたテストの校正と検出力を示す数値実験によって裏付けられています。
より一般的には、このテストはリーマン多様体上の任意のガウスランダム場に適用でき、連続スパース カーネル回帰における間隔テストの適用のための一般的なフレームワークを提供します。
さらに、ガウス確率場の分散共分散関数がスケーリング係数までわかっている場合、テストの正確なスチューデント化バージョン ($t$-spacing test) を導き出します。
この検定は帰無仮説に基づいて完全に校正されており、まばらな代替案を検出する高い検出力を備えています。

要約(オリジナル)

In this article, we introduce the novel concept of the second maximum of a Gaussian random field on a Riemannian submanifold. This second maximum serves as a powerful tool for characterizing the distribution of the maximum. By utilizing an ad-hoc Kac Rice formula, we derive the explicit form of the maximum’s distribution, conditioned on the second maximum and some regressed component of the Riemannian Hessian. This approach results in an exact test, based on the evaluation of spacing between these maxima, which we refer to as the spacing test. We investigate the applicability of this test in detecting sparse alternatives within Gaussian symmetric tensors, continuous sparse deconvolution, and two-layered neural networks with smooth rectifiers. Our theoretical results are supported by numerical experiments, which illustrate the calibration and power of the proposed tests. More generally, this test can be applied to any Gaussian random field on a Riemannian manifold, and we provide a general framework for the application of the spacing test in continuous sparse kernel regression. Furthermore, when the variance-covariance function of the Gaussian random field is known up to a scaling factor, we derive an exact Studentized version of our test, coined the $t$-spacing test. This test is perfectly calibrated under the null hypothesis and has high power for detecting sparse alternatives.

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