Learning the boundary-to-domain mapping using Lifting Product Fourier Neural Operators for partial differential equations

要約

フーリエ ニューラル演算子 (FNO) などのニューラル演算子は、関数空間間のマッピングを学習できる解像度に依存しない深層学習モデルを提供することが示されています。
たとえば、ニューラル オペレーターを使用して、初期条件を将来のタイムステップでの偏微分方程式 (PDE) の解にマッピングできます。
ニューラル演算子の人気にもかかわらず、境界を越えるデータのみが与えられた領域 (空間的に変化するディリクレ境界条件など) で解関数を予測するためのニューラル演算子の使用法は、まだ研究されていません。
この文書では、このような問題をドメイン境界問題と呼びます。
それらは、流体力学、固体力学、熱伝達などの分野で幅広い用途があります。我々は、下位構造で定義された任意の境界関数をマッピングできる、Lifting Product FNO (または LP-FNO) と呼ばれる新しい FNO ベースのアーキテクチャを紹介します。
-ドメイン全体における解への次元境界。
具体的には、低次元の境界で定義された 2 つの FNO が、提案されたリフティング積レイヤーを使用して高次元の領域にリフトされます。
2D ポアソン方程式に対して提案された LP-FNO の有効性と解像度の独立性を示します。

要約(オリジナル)

Neural operators such as the Fourier Neural Operator (FNO) have been shown to provide resolution-independent deep learning models that can learn mappings between function spaces. For example, an initial condition can be mapped to the solution of a partial differential equation (PDE) at a future time-step using a neural operator. Despite the popularity of neural operators, their use to predict solution functions over a domain given only data over the boundary (such as a spatially varying Dirichlet boundary condition) remains unexplored. In this paper, we refer to such problems as boundary-to-domain problems; they have a wide range of applications in areas such as fluid mechanics, solid mechanics, heat transfer etc. We present a novel FNO-based architecture, named Lifting Product FNO (or LP-FNO) which can map arbitrary boundary functions defined on the lower-dimensional boundary to a solution in the entire domain. Specifically, two FNOs defined on the lower-dimensional boundary are lifted into the higher dimensional domain using our proposed lifting product layer. We demonstrate the efficacy and resolution independence of the proposed LP-FNO for the 2D Poisson equation.

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