The significance of the configuration space Lie group for the constraint satisfaction in numerical time integration of multibody systems

要約

空間速度 (非ホロノミック速度) を使用した多体システム (MBS) のダイナミクス シミュレーションでは、運動学的再構築方程式 (構成変数の時間導関数を剛体の速度に関連付ける) とともに動力学方程式の時間積分が必要です。
後者は、特定の定式化の基礎となる剛体の動きの幾何学形状に固有であり、したがって使用される構成空間 (c 空間) に固有です。
剛体の適切な c 空間はリー群 SE(3) であり、幾何学形状はネジの動きの幾何学形状です。
MBS 内の剛体はさらに、SE(3) サブグループを定義する下位の運動学的ペアによる幾何学的制約を受けます。
しかし伝統的に、MBS ダイナミクスでは、平行移動と回転は独立してパラメータ化されており、これは直積群 $SO\left( 3\right) \times {\Bbb R}^{3}$ を剛体 c- として使用することを意味します。
ただし、これは剛体の動きを考慮していません。
したがって、その適切性が最近検討されました。
この論文では、数値時間ステップ スキームにおける制約充足に対する c 空間の重要性が、「絶対座標」アプローチ、つまり幾何学的制約を受ける個々の物体に対するニュートン オイラー方程式を使用してモデル化されたホロノミカル制約付き MBS について分析されます。
物体が受ける幾何学的制約は、動きをその c 空間のサブグループに制約する場合に正確に満たされることが示されています。
$SE\left( 3\right) $ サブグループのみが実際的な意味を持つため、拘束された剛体に適切な c 空間とみなされます。
したがって、下位ペアのジョイントによって課される制約は、ジョイントがボディを地面に接続する場合に正確に満たされます。
モーションがサブグループに制限されていない一般的な MBS の場合、SE(3) と $SO\left( 3\right) \times {\Bbb R}^{3}$ は同じオーダーの精度をもたらします。

要約(オリジナル)

The dynamics simulation of multibody systems (MBS) using spatial velocities (non-holonomic velocities) requires time integration of the dynamics equations together with the kinematic reconstruction equations (relating time derivatives of configuration variables to rigid body velocities). The latter are specific to the geometry of the rigid body motion underlying a particular formulation, and thus to the used configuration space (c-space). The proper c-space of a rigid body is the Lie group SE(3), and the geometry is that of the screw motions. The rigid bodies within a MBS are further subjected to geometric constraints, often due to lower kinematic pairs that define SE(3) subgroups. Traditionally, however, in MBS dynamics the translations and rotations are parameterized independently, which implies the use of the direct product group $SO\left( 3\right) \times {\Bbb R}^{3}$ as rigid body c-space, although this does not account for rigid body motions. Hence, its appropriateness was recently put into perspective. In this paper the significance of the c-space for the constraint satisfaction in numerical time stepping schemes is analyzed for holonomicaly constrained MBS modeled with the ‘absolute coordinate’ approach, i.e. using the Newton-Euler equations for the individual bodies subjected to geometric constraints. It is shown that the geometric constraints a body is subjected to are exactly satisfied if they constrain the motion to a subgroup of its c-space. Since only the $SE\left( 3\right) $ subgroups have a practical significance it is regarded as the appropriate c-space for the constrained rigid body. Consequently the constraints imposed by lower pair joints are exactly satisfied if the joint connects a body to the ground. For a general MBS, where the motions are not constrained to a subgroup, the SE(3) and $SO\left( 3\right) \times {\Bbb R}^{3}$ yield the same order of accuracy.

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