Hypergraph: A Unified and Uniform Definition with Application to Chemical Hypergraph

要約

従来のハイパーグラフの定義には 2 つの大きな問題があります。(1) 有向ハイパーグラフの標準定義がありません。(2) ネストされたハイパーグラフの正式な定義がありません。
これらの問題を解決するために、無向ハイパーグラフ、有向ハイパーグラフ、入れ子ハイパーグラフの概念を統一し、物事の間の高次の相関関係、つまりノードとハイパーエッジを表すための単一の構造としてハイパーエッジを使用する点で統一されたハイパーグラフの新しい定義を提案します。
具体的には、ハイパーエッジを単純なハイパーエッジ、ネストしたハイパーエッジ、または有向ハイパーエッジとして定義します。
この新しい定義では、ハイパーグラフは、ネストされたハイパーエッジがある場合はネストされ、有向ハイパーエッジがある場合は有向になります。
それ以外の場合、ハイパーグラフは単純なハイパーグラフです。
この新しい定義の均一性と強力な視覚化により、一般に (階層的な) 高次相関、特に化学系を表現するためのハイパーグラフの使用が容易になるはずです。
グラフは、分子構造や 3D 分子幾何学に関する機械学習のための数学的構造として広く使用されています。
ただし、グラフには大きな制限があります。それは、ノード間のペアごとの相関のみを表現できることです。
ハイパーグラフは、ノード間の高次の相関を使用してグラフを拡張します。
この拡張は、化学システムの機械学習にとって重要または不可欠です。
分子にとって、これは多中心結合や分子の下部構造を直接的かつ明示的に表現できるため、重要です。
化学反応の場合、ほとんどの化学反応には複数の参加者が関与するため、これは不可欠です。
我々は、化学システムを表現するための単一の数学的構造として、単純な入れ子ハイパーエッジと有向ハイパーエッジを備えたマルチレベル ハイパーグラフである化学ハイパーグラフの使用を提案します。
ハイパーグラフの新しい定義を化学ハイパーグラフに適用し、簡易版として分子ハイパーグラフと化学反応ハイパーグラフに適用します。

要約(オリジナル)

The conventional definition of hypergraph has two major issues: (1) there is not a standard definition of directed hypergraph and (2) there is not a formal definition of nested hypergraph. To resolve these issues, we propose a new definition of hypergraph that unifies the concepts of undirected, directed and nested hypergraphs, and that is uniform in using hyperedge as a single construct for representing high-order correlations among things, i.e., nodes and hyperedges. Specifically, we define a hyperedge to be a simple hyperedge, a nesting hyperedge, or a directed hyperedge. With this new definition, a hypergraph is nested if it has nesting hyperedge(s), and is directed if it has directed hyperedge(s). Otherwise, a hypergraph is a simple hypergraph. The uniformity and power of this new definition, with visualization, should facilitate the use of hypergraph for representing (hierarchical) high-order correlations in general and chemical systems in particular. Graph has been widely used as a mathematical structure for machine learning on molecular structures and 3D molecular geometries. However, graph has a major limitation: it can represent only pairwise correlations between nodes. Hypergraph extends graph with high-order correlations among nodes. This extension is significant or essential for machine learning on chemical systems. For molecules, this is significant as it allows the direct, explicit representation of multicenter bonds and molecular substructures. For chemical reactions, this is essential since most chemical reactions involve multiple participants. We propose the use of chemical hypergraph, a multilevel hypergraph with simple, nesting and directed hyperedges, as a single mathematical structure for representing chemical systems. We apply the new definition of hypergraph to chemical hypergraph and, as simplified versions, molecular hypergraph and chemical reaction hypergraph.

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