Tackling the Curse of Dimensionality in Fractional and Tempered Fractional PDEs with Physics-Informed Neural Networks

要約

分数および調整された分数偏微分方程式 (PDE) は、長距離相互作用、異常拡散、および非局所効果の効果的なモデルです。
これらの問題に対する従来の数値手法はメッシュベースであるため、次元性 (CoD) の呪いに悩まされています。
物理情報に基づいたニューラル ネットワーク (PINN) は、普遍的な近似、一般化機能、およびメッシュフリーのトレーニングにより、有望なソリューションを提供します。
原則として、モンテカルロ分数 PINN (MC-fPINN) はモンテカルロ法を使用して分数導関数を推定するため、CoD を引き上げる可能性があります。
ただし、これにより大幅な差異や誤差が生じる可能性があり、収束に影響を与える可能性があります。
さらに、MC-fPINN はハイパーパラメータの影響を受けやすくなります。
一般に、数値的手法、特に調整された分数偏微分方程式の PINN は開発が不十分です。
ここでは、これらの問題に対処するために MC-fPINN を調整された分数偏微分方程式に拡張し、モンテカルロ調整された分数 PINN (MC-tfPINN) が得られます。
モンテカルロ サンプリングで発生する可能性のある大きな分散と誤差を減らすために、1 次元 (1D) モンテカルロを、MC-fPINN と MC-tfPINN の両方に適用できる 1D ガウス求積法に置き換えます。
最大 100,000 次元までスケールアップして、分数および調整された分数偏微分方程式のさまざまな順問題および逆問題でメソッドを検証します。
直角位相を使用した当社の改良された MC-fPINN/MC-tfPINN は、非常に高い次元での精度と収束速度において、オリジナルのバージョンを常に上回っています。

要約(オリジナル)

Fractional and tempered fractional partial differential equations (PDEs) are effective models of long-range interactions, anomalous diffusion, and non-local effects. Traditional numerical methods for these problems are mesh-based, thus struggling with the curse of dimensionality (CoD). Physics-informed neural networks (PINNs) offer a promising solution due to their universal approximation, generalization ability, and mesh-free training. In principle, Monte Carlo fractional PINN (MC-fPINN) estimates fractional derivatives using Monte Carlo methods and thus could lift CoD. However, this may cause significant variance and errors, hence affecting convergence; in addition, MC-fPINN is sensitive to hyperparameters. In general, numerical methods and specifically PINNs for tempered fractional PDEs are under-developed. Herein, we extend MC-fPINN to tempered fractional PDEs to address these issues, resulting in the Monte Carlo tempered fractional PINN (MC-tfPINN). To reduce possible high variance and errors from Monte Carlo sampling, we replace the one-dimensional (1D) Monte Carlo with 1D Gaussian quadrature, applicable to both MC-fPINN and MC-tfPINN. We validate our methods on various forward and inverse problems of fractional and tempered fractional PDEs, scaling up to 100,000 dimensions. Our improved MC-fPINN/MC-tfPINN using quadrature consistently outperforms the original versions in accuracy and convergence speed in very high dimensions.

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