Score-fPINN: Fractional Score-Based Physics-Informed Neural Networks for High-Dimensional Fokker-Planck-Levy Equations

要約

物理学、金融、生態学などの分野にわたる非ブラウン過程をモデル化する際に、高次元のフォッカー・プランク・レヴィ (FPL) 方程式を解くための革新的なアプローチを紹介します。
分数スコア関数と物理情報に基づくニューラル ネットワーク (PINN) を利用して、次元 (CoD) の呪いを解き、次元を伴う指数関数的に減衰する解からの数値オーバーフローを軽減します。
分数スコア関数の導入により、分数ラプラシアンを使用せずに FPL 方程式を 2 次偏微分方程式に変換できるため、標準の物理情報に基づくニューラル ネットワーク (PINN) で容易に解くことができます。
分数スコア関数を取得するための 2 つの方法、分数スコア マッチング (FSM) と分数スコア関数をフィッティングするためのスコア-fPINN を提案します。
FSM はコスト効率が高くなりますが、既知の条件付き分布に依存しています。
一方、score-fPINN は特定の確率微分方程式 (SDE) から独立していますが、PINN モデルの導関数を評価する必要があり、コストが高くなる可能性があります。
私たちはさまざまな SDE で実験を実施し、高次元問題を扱う際の数値安定性と方法の有効性を実証し、FPL 方程式における CoD への対処における大きな進歩を示しています。

要約(オリジナル)

We introduce an innovative approach for solving high-dimensional Fokker-Planck-L\’evy (FPL) equations in modeling non-Brownian processes across disciplines such as physics, finance, and ecology. We utilize a fractional score function and Physical-informed neural networks (PINN) to lift the curse of dimensionality (CoD) and alleviate numerical overflow from exponentially decaying solutions with dimensions. The introduction of a fractional score function allows us to transform the FPL equation into a second-order partial differential equation without fractional Laplacian and thus can be readily solved with standard physics-informed neural networks (PINNs). We propose two methods to obtain a fractional score function: fractional score matching (FSM) and score-fPINN for fitting the fractional score function. While FSM is more cost-effective, it relies on known conditional distributions. On the other hand, score-fPINN is independent of specific stochastic differential equations (SDEs) but requires evaluating the PINN model’s derivatives, which may be more costly. We conduct our experiments on various SDEs and demonstrate numerical stability and effectiveness of our method in dealing with high-dimensional problems, marking a significant advancement in addressing the CoD in FPL equations.

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