Correspondence Free Multivector Cloud Registration using Conformal Geometric Algebra

要約

我々は、等角幾何代数における対応自由マルチベクトルクラウド登録の問題に対処するための新しい理論的アプローチを初めて提示します。
このような形式主義は、いくつかの好ましい特性を達成します。
主に、マルチベクトルグレーディングを尊重しながら、典型的なベクトル空間を超えて共形幾何代数全体に拡張する直交自己同型を形成します。
具体的には、位置合わせは $SO(4,1)$ – 等角幾何代数における特別な直交変換のグループに属する直交変換 (\it つまり、スケール、平行移動、回転) として見ることができます。
このような形式主義が以下を実行できることを示します: $(i)$ は入力マルチベクトルに直接アクセスせずに登録を実行します。
代わりに、共形モデルによって提供されるプリミティブまたは幾何学オブジェクト、つまりマルチベクトルを使用します。 $(ii)$ 幾何学オブジェクトは、固有多ベクトルのセットを見つけるために多線形固有値問題を解くことによって取得されます。
このようにして、登録プロセスでの対応関係の解決を明示的に回避できます。
最も重要なことは、これにより、入力マルチベクトルと固有マルチベクトルの間で回転と平行移動の等変プロパティが提供されることです。
実験評価は、高レベルのノイズから生じる曖昧さに重点を置き、アプローチの有用性を証明するために、点群登録で一般的に使用されるデータセットで実行されます。
コードは https://github.com/Numerical-Geometric-Algebra/RegistrationGA で入手できます。
この研究は International Journal of Computer Vision に投稿され、現在審査中です。

要約(オリジナル)

We present, for the first time, a novel theoretical approach to address the problem of correspondence free multivector cloud registration in conformal geometric algebra. Such formalism achieves several favorable properties. Primarily, it forms an orthogonal automorphism that extends beyond the typical vector space to the entire conformal geometric algebra while respecting the multivector grading. Concretely, the registration can be viewed as an orthogonal transformation (\it i.e., scale, translation, rotation) belonging to $SO(4,1)$ – group of special orthogonal transformations in conformal geometric algebra. We will show that such formalism is able to: $(i)$ perform the registration without directly accessing the input multivectors. Instead, we use primitives or geometric objects provided by the conformal model – the multivectors, $(ii)$ the geometric objects are obtained by solving a multilinear eigenvalue problem to find sets of eigenmultivectors. In this way, we can explicitly avoid solving the correspondences in the registration process. Most importantly, this offers rotation and translation equivariant properties between the input multivectors and the eigenmultivectors. Experimental evaluation is conducted in datasets commonly used in point cloud registration, to testify the usefulness of the approach with emphasis to ambiguities arising from high levels of noise. The code is available at https://github.com/Numerical-Geometric-Algebra/RegistrationGA . This work was submitted to the International Journal of Computer Vision and is currently under review.

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