Faster Spectral Density Estimation and Sparsification in the Nuclear Norm

要約

$n$-node 無向グラフの正規化隣接行列のスペクトル密度を推定する問題を考えます。
$O(n\epsilon^{-2})$ クエリと隣接オラクルを使用して $O(n\epsilon^{-3})$ 時間以内にスペクトルを推定するランダム化アルゴリズムを提供します。
Wasserstein-1 メトリックの $\epsilon$ 精度。
これは、[Braverman et al., STOC 2022] の $O(n\epsilon^{-7})$ 時間アルゴリズムを含む以前の最先端の手法を改良しており、十分に小さい $\epsilon$ の場合、
[Cohen-Sreiner et al., KDD 2018] の $2^{O(\epsilon^{-1})}$ 時間法。
この結果を達成するために、核スパース化と呼ばれるグラフ スパース化の新しい概念を導入します。
$O(n\epsilon^{-2})$ を計算するための $O(n\epsilon^{-2})$ クエリと $O(n\epsilon^{-2})$ 時間アルゴリズムを提供します。
-まばらな核スパーシファイア。
この境界がスパース性とクエリの複雑さの両方において最適であることを示し、結果を加法的スペクトル スパース化の関連概念から分離します。
独立した興味深い点として、私たちのスパース化法は、$n$ で線形にスケールするスペクトル密度推定の最初の決定論的アルゴリズムも生成することを示します (グラフの表現サイズではサブリニア)。

要約(オリジナル)

We consider the problem of estimating the spectral density of the normalized adjacency matrix of an $n$-node undirected graph. We provide a randomized algorithm that, with $O(n\epsilon^{-2})$ queries to a degree and neighbor oracle and in $O(n\epsilon^{-3})$ time, estimates the spectrum up to $\epsilon$ accuracy in the Wasserstein-1 metric. This improves on previous state-of-the-art methods, including an $O(n\epsilon^{-7})$ time algorithm from [Braverman et al., STOC 2022] and, for sufficiently small $\epsilon$, a $2^{O(\epsilon^{-1})}$ time method from [Cohen-Steiner et al., KDD 2018]. To achieve this result, we introduce a new notion of graph sparsification, which we call nuclear sparsification. We provide an $O(n\epsilon^{-2})$-query and $O(n\epsilon^{-2})$-time algorithm for computing $O(n\epsilon^{-2})$-sparse nuclear sparsifiers. We show that this bound is optimal in both its sparsity and query complexity, and we separate our results from the related notion of additive spectral sparsification. Of independent interest, we show that our sparsification method also yields the first deterministic algorithm for spectral density estimation that scales linearly with $n$ (sublinear in the representation size of the graph).

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