Representing Piecewise-Linear Functions by Functions with Minimal Arity

要約

任意の連続区分線形関数 $F\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ は、最大 $n+1$ アフィンの $\max$ 関数の線形結合として表すことができます。
線形関数。
以前の論文 [「小さなアリティを持つ関数による区分的線形関数の表現」、AAECC、2023] では、この $n+1$ 引数の上限が厳しいことを示しました。
本論文では、関数 $F$ とそのような分解に必要な最小数の引数との間の対応関係を確立することにより、この結果を拡張します。
関数 $F$ によって引き起こされる入力空間 $\mathbb{R}^{n}$ のテッセレーションが $\max$ 関数の引数の数に直接関係していることを示します。

要約(オリジナル)

Any continuous piecewise-linear function $F\colon \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ can be represented as a linear combination of $\max$ functions of at most $n+1$ affine-linear functions. In our previous paper [“Representing piecewise linear functions by functions with small arity”, AAECC, 2023], we showed that this upper bound of $n+1$ arguments is tight. In the present paper, we extend this result by establishing a correspondence between the function $F$ and the minimal number of arguments that are needed in any such decomposition. We show that the tessellation of the input space $\mathbb{R}^{n}$ induced by the function $F$ has a direct connection to the number of arguments in the $\max$ functions.

arxiv情報

提供元, 利用サービス

arxiv.jp, Google