Weak Generative Sampler to Efficiently Sample Invariant Distribution of Stochastic Differential Equation

要約

Ito 拡散プロセスから不変分布をサンプリングすることは、確率的シミュレーションにおいて大きな課題となります。
確率微分方程式の従来の数値ソルバーは、細かいステップ サイズと長いシミュレーション期間の両方を必要とするため、偏ったサンプルと相関のあるサンプルの両方が生成されます。
現在の深層学習ベースの方法は、定常のフォッカー-プランク方程式を解き、ディープ ニューラル ネットワークの形式で不変確率密度関数を決定しますが、一般に、計算された密度関数からのサンプリングの問題には直接対処していません。
この研究では、弱い生成サンプラー (WGS) を使用して、定常のフォッカー-プランク方程式から導出された変換マップによって誘導される独立した同一分散 (iid) サンプルを直接生成するフレームワークを導入します。
私たちが提案する損失関数は、フォッカー プランク方程式の弱い形式に基づいており、正規化フローを統合して不変分布を特徴付け、基本分布からのサンプル生成を容易にします。
私たちのランダム化されたテスト関数は、従来の弱い定式化におけるミニマックス最適化の必要性を回避します。
従来の生成モデルとは異なり、私たちの方法では、計算量の多いヤコビアン行列式の計算も、変換マップの可逆性も必要としません。
私たちのフレームワークの重要なコンポーネントは、生成されたデータ サンプルから選択された中心を持つガウス カーネル関数の形式で、適応的に選択されたテスト関数ファミリーです。
いくつかのベンチマーク例の実験結果は、低い計算コストと複数の準安定状態を探索する優れた機能の両方を提供する私たちの方法の有効性を示しています。

要約(オリジナル)

Sampling invariant distributions from an Ito diffusion process presents a significant challenge in stochastic simulation. Traditional numerical solvers for stochastic differential equations require both a fine step size and a lengthy simulation period, resulting in both biased and correlated samples. Current deep learning-based method solves the stationary Fokker–Planck equation to determine the invariant probability density function in form of deep neural networks, but they generally do not directly address the problem of sampling from the computed density function. In this work, we introduce a framework that employs a weak generative sampler (WGS) to directly generate independent and identically distributed (iid) samples induced by a transformation map derived from the stationary Fokker–Planck equation. Our proposed loss function is based on the weak form of the Fokker–Planck equation, integrating normalizing flows to characterize the invariant distribution and facilitate sample generation from the base distribution. Our randomized test function circumvents the need for mini-max optimization in the traditional weak formulation. Distinct from conventional generative models, our method neither necessitates the computationally intensive calculation of the Jacobian determinant nor the invertibility of the transformation map. A crucial component of our framework is the adaptively chosen family of test functions in the form of Gaussian kernel functions with centres selected from the generated data samples. Experimental results on several benchmark examples demonstrate the effectiveness of our method, which offers both low computational costs and excellent capability in exploring multiple metastable states.

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