Explicit Formulae to Interchangeably use Hyperplanes and Hyperballs using Inversive Geometry

要約

多くのアルゴリズムは、超平面や超球を分離するなどの識別境界を必要とするか、球面データを処理するように特別に設計されています。
逆幾何学を適用することで、2 つの識別境界が互換的に使用できること、および点の距離の変化が許容される場合は常に、一般的なユークリッド データを球面データに変換できることを示します。
一般的なユークリッド データを球面データに埋め込んだり、埋め込みを解除したりするための明示的な式を提供します。
さらに、超球面キャップ、つまり球面データ上の分離超平面によって作成されるボリュームとハイパーボールの間の二重性を示し、この 2 つの間をマッピングするための明示的な公式を提供します。
さらに、明示的な埋め込みと埋め込み解除を回避するために、2 つの空間間の内積とユークリッド距離を変換する方程式を提供します。
また、一般ユークリッド空間の半超球への射影を強制する方法も提供し、「汎用」パラメータを取得するための固有次元ベースの方法を提案します。
キャップボール双対性の有用性を示すために、機械学習とベクトル類似性検索における応用例について説明します。

要約(オリジナル)

Many algorithms require discriminative boundaries, such as separating hyperplanes or hyperballs, or are specifically designed to work on spherical data. By applying inversive geometry, we show that the two discriminative boundaries can be used interchangeably, and that general Euclidean data can be transformed into spherical data, whenever a change in point distances is acceptable. We provide explicit formulae to embed general Euclidean data into spherical data and to unembed it back. We further show a duality between hyperspherical caps, i.e., the volume created by a separating hyperplane on spherical data, and hyperballs and provide explicit formulae to map between the two. We further provide equations to translate inner products and Euclidean distances between the two spaces, to avoid explicit embedding and unembedding. We also provide a method to enforce projections of the general Euclidean space onto hemi-hyperspheres and propose an intrinsic dimensionality based method to obtain ‘all-purpose’ parameters. To show the usefulness of the cap-ball-duality, we discuss example applications in machine learning and vector similarity search.

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