Reducing the cost of posterior sampling in linear inverse problems via task-dependent score learning

要約

スコアベースの拡散モデル (SDM) は、さまざまなベイジアン逆問題で事後分布からサンプリングするための柔軟なアプローチを提供します。
文献では、単一の事後サンプルを生成するために前方マッピングの複数の評価を必要とするさまざまな方法により、事前スコアを利用して事後サンプルが抽出されます。
これらの方法は多くの場合、無条件の事前スコアを直接使用できるようにすること、したがってタスクに依存しないトレーニングを可能にすることを目的として設計されています。
この論文では、医療画像処理など、フォワード マッピングの評価に計算コストがかかり、新しい測定データに対して頻繁な事後サンプリングが必要な場合の線形逆問題に焦点を当てます。
我々は、事後サンプル生成中に前方マッピングの評価を完全にバイパスできることを実証します。
その代わりに、エラーを発生させることなく、計算作業を特定の拡散のようなランダム プロセスのスコアをトレーニングするオフライン タスクに移すことができます。
特に、トレーニングはタスクに依存しており、フォワード マッピングに関する情報は必要ですが、測定データについては必要ありません。
事後分布に対応する条件付きスコアは、適切なアフィン変換によって補助スコアから取得できることが示されています。
我々は、この観察が最近導入された無限次元拡散モデルのフレームワークに一般化することを証明し、この方法の数値解析を提供します。
さらに、数値実験によって結果を検証します。

要約(オリジナル)

Score-based diffusion models (SDMs) offer a flexible approach to sample from the posterior distribution in a variety of Bayesian inverse problems. In the literature, the prior score is utilized to sample from the posterior by different methods that require multiple evaluations of the forward mapping in order to generate a single posterior sample. These methods are often designed with the objective of enabling the direct use of the unconditional prior score and, therefore, task-independent training. In this paper, we focus on linear inverse problems, when evaluation of the forward mapping is computationally expensive and frequent posterior sampling is required for new measurement data, such as in medical imaging. We demonstrate that the evaluation of the forward mapping can be entirely bypassed during posterior sample generation. Instead, without introducing any error, the computational effort can be shifted to an offline task of training the score of a specific diffusion-like random process. In particular, the training is task-dependent requiring information about the forward mapping but not about the measurement data. It is shown that the conditional score corresponding to the posterior can be obtained from the auxiliary score by suitable affine transformations. We prove that this observation generalizes to the framework of infinite-dimensional diffusion models introduced recently and provide numerical analysis of the method. Moreover, we validate our findings with numerical experiments.

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