Estimating a Function and Its Derivatives Under a Smoothness Condition

要約

n 個の観測値のノイズの多いデータセットから未知の関数 f* とその偏導関数を推定する問題を検討します。ここで、f* が次数 m の二乗可積分偏導関数を持つという意味で滑らかであることを除いて、f* については何も仮定しません。
。
このような場合の f* の推定量の自然な候補は、特定の滑らかさの条件を満たすデータセットに最もよく適合するものです。
この推定量は、滑らかさの何らかの尺度の上限に従う最小二乗推定量とみなすことができます。
もう 1 つの有用な推定量は、二乗誤差の平均の上限に従って平滑度を最小化する推定量です。
これら 2 つの推定量が 2 次プログラムの解として計算可能であることを証明し、これらの推定量とその偏導関数の一貫性を確立し、n が無限大に増加するときの収束率を研究します。
ストック オプションの価値とその二次導関数が基礎となる株価の関数として推定される設定において、推定器の有効性が数値的に示されます。

要約(オリジナル)

We consider the problem of estimating an unknown function f* and its partial derivatives from a noisy data set of n observations, where we make no assumptions about f* except that it is smooth in the sense that it has square integrable partial derivatives of order m. A natural candidate for the estimator of f* in such a case is the best fit to the data set that satisfies a certain smoothness condition. This estimator can be seen as a least squares estimator subject to an upper bound on some measure of smoothness. Another useful estimator is the one that minimizes the degree of smoothness subject to an upper bound on the average of squared errors. We prove that these two estimators are computable as solutions to quadratic programs, establish the consistency of these estimators and their partial derivatives, and study the convergence rate as n increases to infinity. The effectiveness of the estimators is illustrated numerically in a setting where the value of a stock option and its second derivative are estimated as functions of the underlying stock price.

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