Architectures and random properties of symplectic quantum circuits

要約

パラメータ化されたランダムなユニタリー(または直交) $n$-qubit 回路は、量子情報において中心的な役割を果たします。
したがって、シンプレクティック変換を実装する回路も同様の注目を集めるだろうと自然に想定できます。
しかし、これは当てはまりません。$\mathbb{SP}(d/2)$ ($d\times d$ ユニタリシンプレクティック行列のグループ) はこれまで見落とされてきました。
この取り組みでは、この間違いを正し始めることを目的としています。
まず、シンプレクティック代数 $i\mathfrak{sp}(d/2)$ のための生成器 $\mathcal{G}$ の普遍的なセットを提示することから始めます。これは、
一次元格子。
ここでは、そのようなセットと、ユニタリ回路および直交回路の同等のセットとの間の 2 つの重要な違いを明らかにします。
つまり、$\mathcal{G}$ の演算子は任意の局所シンプレクティック ユニタリを生成できず、並進不変ではないことがわかります。
次に、シンプレクティック群とブラウアー代数の間のシュール・ワイル双対性を検討し、ワインガルテン計算のツールを使用して、ハールランダムシンプレクティック回路の出力におけるパウリ測定がガウス過程に収束できることを証明します。
副産物として、このような解析により、$\mathbb{SP}(d/2)$ に対する $t$ 設計を形成する回路におけるパウリ測定の濃度限界が得られます。
最後に、浅いランダムシンプレクティック回路を解析するためのテンソルネットワークツールを紹介し、これらを使用して、計算ベースの測定が対数深さで反集中することを数値的に示します。

要約(オリジナル)

Parametrized and random unitary (or orthogonal) $n$-qubit circuits play a central role in quantum information. As such, one could naturally assume that circuits implementing symplectic transformation would attract similar attention. However, this is not the case, as $\mathbb{SP}(d/2)$ — the group of $d\times d$ unitary symplectic matrices — has thus far been overlooked. In this work, we aim at starting to right this wrong. We begin by presenting a universal set of generators $\mathcal{G}$ for the symplectic algebra $i\mathfrak{sp}(d/2)$, consisting of one- and two-qubit Pauli operators acting on neighboring sites in a one-dimensional lattice. Here, we uncover two critical differences between such set, and equivalent ones for unitary and orthogonal circuits. Namely, we find that the operators in $\mathcal{G}$ cannot generate arbitrary local symplectic unitaries and that they are not translationally invariant. We then review the Schur-Weyl duality between the symplectic group and the Brauer algebra, and use tools from Weingarten calculus to prove that Pauli measurements at the output of Haar random symplectic circuits can converge to Gaussian processes. As a by-product, such analysis provides us with concentration bounds for Pauli measurements in circuits that form $t$-designs over $\mathbb{SP}(d/2)$. To finish, we present tensor-network tools to analyze shallow random symplectic circuits, and we use these to numerically show that computational-basis measurements anti-concentrate at logarithmic depth.

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