Approximating Numerical Fluxes Using Fourier Neural Operators for Hyperbolic Conservation Laws

要約

従来、計算手法を使用して偏微分方程式 (PDE) を解くために、古典的な数値スキームが使用されてきました。
最近、ニューラルネットワークベースの手法が登場しました。
これらの進歩にもかかわらず、物理情報に基づくニューラル ネットワーク (PINN) やニューラル オペレーターなどのニューラル ネットワーク ベースの手法には、堅牢性と一般化の点で欠陥があります。
これらの問題に対処するために、多くの研究が古典的な数値フレームワークを機械学習技術と統合し、従来の数値手法の一部にニューラル ネットワークを組み込みました。
この研究では、従来の数値フラックスをニューラル演算子に置き換えることにより、双曲保存則に焦点を当てます。
この目的を達成するために、保存則に関連する確立された数値スキームとフーリエ ニューラル演算子 (FNO) を使用した近似数値フラックスに触発された損失関数を開発しました。
私たちの実験では、私たちのアプローチが従来の数値スキームと FNO の両方の長所を組み合わせており、いくつかの点で標準的な FNO 手法よりも優れていることが実証されました。
たとえば、私たちの方法が堅牢で、解像度が不変であり、データ駆動型の方法として実行可能であることを示します。
特に、私たちの手法は、時間の経過とともに継続的な予測を行うことができ、既存のニューラル オペレーター手法が直面する課題である分布外 (OOD) サンプルに対して優れた一般化機能を示します。

要約(オリジナル)

Traditionally, classical numerical schemes have been employed to solve partial differential equations (PDEs) using computational methods. Recently, neural network-based methods have emerged. Despite these advancements, neural network-based methods, such as physics-informed neural networks (PINNs) and neural operators, exhibit deficiencies in robustness and generalization. To address these issues, numerous studies have integrated classical numerical frameworks with machine learning techniques, incorporating neural networks into parts of traditional numerical methods. In this study, we focus on hyperbolic conservation laws by replacing traditional numerical fluxes with neural operators. To this end, we developed loss functions inspired by established numerical schemes related to conservation laws and approximated numerical fluxes using Fourier neural operators (FNOs). Our experiments demonstrated that our approach combines the strengths of both traditional numerical schemes and FNOs, outperforming standard FNO methods in several respects. For instance, we demonstrate that our method is robust, has resolution invariance, and is feasible as a data-driven method. In particular, our method can make continuous predictions over time and exhibits superior generalization capabilities with out-of-distribution (OOD) samples, which are challenges that existing neural operator methods encounter.

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