Intrinsic Bayesian Cramér-Rao Bound with an Application to Covariance Matrix Estimation

要約

この論文では、推定するパラメータがリーマン多様体 (リーマン計量を備えた滑らかな多様体) 内にあり、所定の事前分布に従う推定問題の新しい性能限界を示します。
この設定では、選択されたリーマン計量によって、パラメーター多様体の幾何学形状と、推定誤差測度の固有の概念が誘導されます。
このような誤差測定のパフォーマンス限界は、非ベイジアンの場合 (未知のパラメーターが決定的であると想定される場合) で以前に取得されており、\textit{intrinsic} Cram\’er-Rao 限界と呼ばれます。
提示された結果は次のいずれかとして表示されます: \textit{a}) ベイズ推定フレームワークにバインドされた固有の Cram\’er-Rao の拡張。
\textit{b}) 前述の幾何学的構造を説明する Van-Trees 不等式 (Bayesian Cram\’er-Rao 限界) の一般化。
2 番目のパートでは、この形式主義を利用して、データがガウス分布に従い、その共分散行列が逆ウィシャート分布から得られる場合の共分散行列推定の問題を研究します。
この問題の性能限界は、平均二乗誤差 (ユークリッド計量) とエルミート正定行列の自然リーマン距離 (アフィン不変計量) の両方で得られます。
数値シミュレーションでは、アフィン不変計量を使用して誤差を評価すると、ユークリッド計量を使用した場合には観察されない、事後最大誤差推定量と最小平均二乗誤差推定量の興味深い特性が明らかになることを示しています。

要約(オリジナル)

This paper presents a new performance bound for estimation problems where the parameter to estimate lies in a Riemannian manifold (a smooth manifold endowed with a Riemannian metric) and follows a given prior distribution. In this setup, the chosen Riemannian metric induces a geometry for the parameter manifold, as well as an intrinsic notion of the estimation error measure. Performance bound for such error measure were previously obtained in the non-Bayesian case (when the unknown parameter is assumed to deterministic), and referred to as \textit{intrinsic} Cram\’er-Rao bound. The presented result then appears either as: \textit{a}) an extension of the intrinsic Cram\’er-Rao bound to the Bayesian estimation framework; \textit{b}) a generalization of the Van-Trees inequality (Bayesian Cram\’er-Rao bound) that accounts for the aforementioned geometric structures. In a second part, we leverage this formalism to study the problem of covariance matrix estimation when the data follow a Gaussian distribution, and whose covariance matrix is drawn from an inverse Wishart distribution. Performance bounds for this problem are obtained for both the mean squared error (Euclidean metric) and the natural Riemannian distance for Hermitian positive definite matrices (affine invariant metric). Numerical simulation illustrate that assessing the error with the affine invariant metric is revealing of interesting properties of the maximum a posteriori and minimum mean square error estimator, which are not observed when using the Euclidean metric.

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