Approximation properties relative to continuous scale space for hybrid discretizations of Gaussian derivative operators

要約

この論文では、正規化されたサンプリング ガウス カーネルまたは統合ガウス カーネルとそれに続く中心差分の畳み込みに基づく、ガウス導関数の 2 つのハイブリッド離散化法の特性の分析を示します。
これらの離散化手法を研究する動機は、同じスケール レベルで異なる次数の複数の空間導関数が必要な状況で、サンプリングされたガウス カーネルまたは積分されたガウス カーネルによる明示的な畳み込みに基づくより直接的な導関数近似と比較して、大幅に効率的に計算できることです。
ガウス カーネル。
これらの計算上の利点は、ガウス カーネルの離散アナログとそれに続く中心差分との畳み込みに基づいて、ガウス導関数の離散アナログを計算するための真の離散アプローチにも当てはまりますが、ガウス カーネルの離散アナログの基礎となる数学的プリミティブは次のとおりです。
整数次数の修正ベッセル関数の条件は、スケール レベルの学習を伴う、ガウス導関数のスケール パラメーター化フィルターに基づく深層学習を実行する場合など、画像処理の特定のフレームワークでは利用できない場合があります。
この論文では、これらのハイブリッド離散化法の特性を、それらが意味する空間平滑化の量に関する定量的性能測定、およびスケール不変の特徴検出器から得られるスケール推定値の相対的な一貫性の観点から特徴づけます。
スケールパラメータの非常に小さな値の動作に重点を置いた自動スケール選択。これは、完全連続スケール空間理論から得られる対応する結果や、異なるタイプの離散化手法間で大きく異なる可能性があります。

要約(オリジナル)

This paper presents an analysis of properties of two hybrid discretization methods for Gaussian derivatives, based on convolutions with either the normalized sampled Gaussian kernel or the integrated Gaussian kernel followed by central differences. The motivation for studying these discretization methods is that in situations when multiple spatial derivatives of different order are needed at the same scale level, they can be computed significantly more efficiently compared to more direct derivative approximations based on explicit convolutions with either sampled Gaussian kernels or integrated Gaussian kernels. While these computational benefits do also hold for the genuinely discrete approach for computing discrete analogues of Gaussian derivatives, based on convolution with the discrete analogue of the Gaussian kernel followed by central differences, the underlying mathematical primitives for the discrete analogue of the Gaussian kernel, in terms of modified Bessel functions of integer order, may not be available in certain frameworks for image processing, such as when performing deep learning based on scale-parameterized filters in terms of Gaussian derivatives, with learning of the scale levels. In this paper, we present a characterization of the properties of these hybrid discretization methods, in terms of quantitative performance measures concerning the amount of spatial smoothing that they imply, as well as the relative consistency of scale estimates obtained from scale-invariant feature detectors with automatic scale selection, with an emphasis on the behaviour for very small values of the scale parameter, which may differ significantly from corresponding results obtained from the fully continuous scale-space theory, as well as between different types of discretization methods.

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