Discretization Error of Fourier Neural Operators

要約

オペレータ学習は機械学習の一種で、データから関数空間間の写像を近似するように設計されている。フーリエ・ニューラル・オペレータ（FNO）は、オペレータ学習に用いられる一般的なモデル・アーキテクチャである。FNOは、物理空間におけるポイントワイズ線形および非線形演算と、フーリエ空間におけるポイントワイズ線形演算を組み合わせ、関数空間間で作用するパラメータ化された写像を導く。FNOは形式的には連続体上の関数の畳み込みを含むが、実際には離散化されたグリッド上で計算が行われるため、FFTによる効率的な実装が可能である。本論文では、このような離散化によって生じるエイリアシング誤差を定量化し、入力の規則性の関数として、グリッドの解像度に応じた代数的収束率を求める。理論を検証し、モデルの安定性を記述する数値実験を行った。

要約(オリジナル)

Operator learning is a variant of machine learning that is designed to approximate maps between function spaces from data. The Fourier Neural Operator (FNO) is a common model architecture used for operator learning. The FNO combines pointwise linear and nonlinear operations in physical space with pointwise linear operations in Fourier space, leading to a parameterized map acting between function spaces. Although FNOs formally involve convolutions of functions on a continuum, in practice the computations are performed on a discretized grid, allowing efficient implementation via the FFT. In this paper, the aliasing error that results from such a discretization is quantified and algebraic rates of convergence in terms of the grid resolution are obtained as a function of the regularity of the input. Numerical experiments that validate the theory and describe model stability are performed.

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