Fourier Neural Operator with Learned Deformations for PDEs on General Geometries

要約

深層学習サロゲート モデルは、偏微分方程式 (PDE) を解く上で有望であることが示されています。
その中でも、フーリエ ニューラル オペレーター (FNO) は、流体の流れなどのさまざまな偏微分方程式において、良好な精度を実現し、数値ソルバーと比較して大幅に高速です。
ただし、FNO は高速フーリエ変換 (FFT) を使用します。これは、均一なグリッドを持つ長方形の領域に限定されます。
この研究では、任意の幾何学上の偏微分方程式を解くための新しいフレームワーク、つまり geo-FNO を提案します。
Geo-FNO は、不規則な可能性がある入力 (物理) ドメインを、均一なグリッドを持つ潜在空間に変形することを学習します。
FFT を使用した FNO モデルは潜在空間に適用されます。
結果として得られる geo-FNO モデルは、FFT の計算効率と、任意のジオメトリを処理できる柔軟性の両方を備えています。
当社の geo-FNO は入力形式に関しても柔軟であり、点群、メッシュ、設計パラメータはすべて有効な入力です。
弾性、塑性、オイラー方程式、ナビエ・ストークス方程式などのさまざまな偏微分方程式、および順モデリング問題と逆計画問題の両方を考慮します。
Geo-FNO は、標準の数値ソルバーより $10^5$ 倍高速で、標準 FNO などの既存の ML ベースの PDE ソルバーでの直接内挿と比較して 2 倍正確です。

要約(オリジナル)

Deep learning surrogate models have shown promise in solving partial differential equations (PDEs). Among them, the Fourier neural operator (FNO) achieves good accuracy, and is significantly faster compared to numerical solvers, on a variety of PDEs, such as fluid flows. However, the FNO uses the Fast Fourier transform (FFT), which is limited to rectangular domains with uniform grids. In this work, we propose a new framework, viz., geo-FNO, to solve PDEs on arbitrary geometries. Geo-FNO learns to deform the input (physical) domain, which may be irregular, into a latent space with a uniform grid. The FNO model with the FFT is applied in the latent space. The resulting geo-FNO model has both the computation efficiency of FFT and the flexibility of handling arbitrary geometries. Our geo-FNO is also flexible in terms of its input formats, viz., point clouds, meshes, and design parameters are all valid inputs. We consider a variety of PDEs such as the Elasticity, Plasticity, Euler’s, and Navier-Stokes equations, and both forward modeling and inverse design problems. Geo-FNO is $10^5$ times faster than the standard numerical solvers and twice more accurate compared to direct interpolation on existing ML-based PDE solvers such as the standard FNO.

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