Optimized neural forms for solving ordinary differential equations

要約

ニューラル ネットワークを使用して常微分方程式の解を近似する際の重要な問題は、境界または初期条件を正確に満たすかどうかです。
この目的のために、ニューラルフォーム、つまり、設計により所定の条件を正確に満たすニューラルネットワークに依存する関数式が導入されました。
以前の進歩を拡張して、現在の研究は 3 つの異なる側面で貢献します。
まず、最適化されたニューラル フォームを作成するための新しい形式主義を提示します。
次に、正確な解からの絶対偏差の上限を確立する方法の概要を説明します。
3 番目に、ノイマン条件またはロビン条件による問題を、パラメトリック ディリクレ条件による同等の問題に変換する手法を導入します。
提案された最適化されたニューラル フォームは、1 次系だけでなく 1 次および 2 次の常微分方程式を含む一連の多様な問題に対して数値的にテストされました。
スティッフ微分方程式と遅延微分方程式も考慮されました。
得られた解は、ルンゲ・クッタ法によって得られた解および入手可能な場合には正確な解と比較されました。
報告された結果と分析では、境界または初期条件を正確に満たすことに加えて、最適化されたニューラル形式が優れた補間能力と制御可能な全体精度を備えた閉形式ソリューションを提供することを検証しています。

要約(オリジナル)

A critical issue in approximating solutions of ordinary differential equations using neural networks is the exact satisfaction of the boundary or initial conditions. For this purpose, neural forms have been introduced, i.e., functional expressions that depend on neural networks which, by design, satisfy the prescribed conditions exactly. Expanding upon prior progress, the present work contributes in three distinct aspects. First, it presents a novel formalism for crafting optimized neural forms. Second, it outlines a method for establishing an upper bound on the absolute deviation from the exact solution. Third, it introduces a technique for converting problems with Neumann or Robin conditions into equivalent problems with parametric Dirichlet conditions. The proposed optimized neural forms were numerically tested on a set of diverse problems, encompassing first-order and second-order ordinary differential equations, as well as first-order systems. Stiff and delay differential equations were also considered. The obtained solutions were compared against solutions obtained via Runge-Kutta methods and exact solutions wherever available. The reported results and analysis verify that in addition to the exact satisfaction of the boundary or initial conditions, optimized neural forms provide closed-form solutions of superior interpolation capability and controllable overall accuracy.

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