Continuum limit of $p$-biharmonic equations on graphs

要約

この論文は、点群処理で発生し、ハイパーグラフの観点からグラフ $p$-ラプラシアンの自然な拡張として解釈できる、グラフ上の $p$-二調和方程式を研究します。
ランダムな幾何学グラフを考慮し、データ点の数が無限大になる場合、解の漸近挙動が調査されます。
連続体極限が均一なノイマン境界条件を持つ適切に重み付けされた $p$-二調和方程式であることを示します。
結果は、非局所ポアソン方程式とグラフ ポアソン方程式の解と勾配の一様な $L^p$ 推定値に依存します。
副産物として解の $L^\infty$ 推定値も得られます。

要約(オリジナル)

This paper studies the $p$-biharmonic equation on graphs, which arises in point cloud processing and can be interpreted as a natural extension of the graph $p$-Laplacian from the perspective of hypergraph. The asymptotic behavior of the solution is investigated when the random geometric graph is considered and the number of data points goes to infinity. We show that the continuum limit is an appropriately weighted $p$-biharmonic equation with homogeneous Neumann boundary conditions. The result relies on the uniform $L^p$ estimates for solutions and gradients of nonlocal and graph Poisson equations. The $L^\infty$ estimates of solutions are also obtained as a byproduct.

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