Neural Operator induced Gaussian Process framework for probabilistic solution of parametric partial differential equations

要約

ニューラル演算子の研究により、従来の方法と比較して偏微分方程式 (PDE) を解くための効率的なアプローチの開発への道が開かれました。
しかし、既存のニューラル オペレーターのほとんどは、特に利用可能なデータが限られているデータ駆動型のシナリオでは、重要な側面である予測の不確実性の尺度を提供する機能に欠けています。
この研究では、オペレーター学習の学習能力を活用しながら、ガウス過程 (GP) の確率的特性を活用する、新しい神経オペレーター誘導ガウス過程 (NOGaP) を提案します。
提案されたフレームワークは予測精度の向上につながり、不確実性の定量化可能な尺度を提供します。
提案されたフレームワークは、バーガー方程式、ダーシー流、不均一ポアソン、波移流方程式など、さまざまな偏微分方程式の例に関する実験を通じて広範囲に評価されています。
さらに、NOGaP の利点を強調するために、最先端のオペレーター学習アルゴリズムとの比較研究が示されています。
結果は、優れた精度と予想される不確実性特性を実証し、提案されたフレームワークの有望な可能性を示唆しています。

要約(オリジナル)

The study of neural operators has paved the way for the development of efficient approaches for solving partial differential equations (PDEs) compared with traditional methods. However, most of the existing neural operators lack the capability to provide uncertainty measures for their predictions, a crucial aspect, especially in data-driven scenarios with limited available data. In this work, we propose a novel Neural Operator-induced Gaussian Process (NOGaP), which exploits the probabilistic characteristics of Gaussian Processes (GPs) while leveraging the learning prowess of operator learning. The proposed framework leads to improved prediction accuracy and offers a quantifiable measure of uncertainty. The proposed framework is extensively evaluated through experiments on various PDE examples, including Burger’s equation, Darcy flow, non-homogeneous Poisson, and wave-advection equations. Furthermore, a comparative study with state-of-the-art operator learning algorithms is presented to highlight the advantages of NOGaP. The results demonstrate superior accuracy and expected uncertainty characteristics, suggesting the promising potential of the proposed framework.

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