Anytime-valid t-tests and confidence sequences for Gaussian means with unknown variance

要約

1976 年に、Lai は、未知の分散 $\sigma^2$ を持つガウス分布の平均 $\mu$ に対する自明でない信頼系列を構築しました。
興味深いことに、彼は $\sigma$ 上で不適切な (右 Haar) 混合と $\mu$ 上で不適切な (フラット) 混合の両方を採用しました。
ここでは、一般化された非積分不可能なマルチンゲールと拡張されたヴィルの不等式を使用する彼の構築の詳細を注意深く詳しく説明します。
これにより逐次 t 検定は得られますが、「e プロセス」は得られません (マーチンゲールの非積分性のため)。
この論文では、同じ設定に対する 2 つの新しい e プロセスと信頼度シーケンスを開発します。1 つは縮小フィルタリングでのテスト マーチンゲールであり、もう 1 つは正規データ フィルタリングでの e-プロセスです。
これらはそれぞれ、全称推論で行われるように、ライのフラット混合をガウス混合と交換し、$\sigma$ 上の右ハール混合をヌルの下での最尤推定と交換することによって取得されます。
また、結果として得られる信頼シーケンスの幅も分析します。これは、誤差確率 $\alpha$ に対する興味深い多項式依存性を持ち、これは避けられないだけでなく、(普遍的推論の観点から) 古典的な固定標本 t 検定よりもさらに優れていることが証明されています。
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最近の次善のアプローチを含む、さまざまなアプローチを比較対照するために、途中で数値実験が提供されます。

要約(オリジナル)

In 1976, Lai constructed a nontrivial confidence sequence for the mean $\mu$ of a Gaussian distribution with unknown variance $\sigma^2$. Curiously, he employed both an improper (right Haar) mixture over $\sigma$ and an improper (flat) mixture over $\mu$. Here, we elaborate carefully on the details of his construction, which use generalized nonintegrable martingales and an extended Ville’s inequality. While this does yield a sequential t-test, it does not yield an ‘e-process’ (due to the nonintegrability of his martingale). In this paper, we develop two new e-processes and confidence sequences for the same setting: one is a test martingale in a reduced filtration, while the other is an e-process in the canonical data filtration. These are respectively obtained by swapping Lai’s flat mixture for a Gaussian mixture, and swapping the right Haar mixture over $\sigma$ with the maximum likelihood estimate under the null, as done in universal inference. We also analyze the width of resulting confidence sequences, which have a curious polynomial dependence on the error probability $\alpha$ that we prove to be not only unavoidable, but (for universal inference) even better than the classical fixed-sample t-test. Numerical experiments are provided along the way to compare and contrast the various approaches, including some recent suboptimal ones.

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