Score matching for sub-Riemannian bridge sampling

要約

条件付き拡散プロセスのシミュレーションは、確率過程、データ代入、生成モデリング、および幾何学的統計の推論に不可欠なツールです。
拡散ブリッジ過程をユークリッド空間上でシミュレートすることはすでに困難ですが、リーマン多様体上の拡散過程を考慮すると、幾何学がさらに複雑になります。
さらに一般性が高く、リーマン幾何学から準リーマン幾何学に進むと低楕円率が導入され、拡散過程のスコアに対する適切な明示的近似を見つける可能性が排除されます。
我々はこれらの課題に対処し、機械学習の最近の進歩を修正してサブリーマン多様体でのスコア近似器のトレーニングを可能にする方法を実証することにより、サブリーマン多様体でのブリッジシミュレーションの方法を構築します。
勾配は水平分布に依存するため、確率的テイラー展開を使用して非ホロノミックフレームで機能するようにノイズ除去損失の通常の概念を一般化し、結果として得られるスキームをハイゼンベルク群で明示的に、そしてより一般的に適応した座標を使用して実証します。
私たちは、ハイゼンベルク群のブリッジプロセスからのサンプルと、このプロセスの短時間の集中を例示する数値実験を実行します。

要約(オリジナル)

Simulation of conditioned diffusion processes is an essential tool in inference for stochastic processes, data imputation, generative modelling, and geometric statistics. Whilst simulating diffusion bridge processes is already difficult on Euclidean spaces, when considering diffusion processes on Riemannian manifolds the geometry brings in further complications. In even higher generality, advancing from Riemannian to sub-Riemannian geometries introduces hypoellipticity, and the possibility of finding appropriate explicit approximations for the score of the diffusion process is removed. We handle these challenges and construct a method for bridge simulation on sub-Riemannian manifolds by demonstrating how recent progress in machine learning can be modified to allow for training of score approximators on sub-Riemannian manifolds. Since gradients dependent on the horizontal distribution, we generalise the usual notion of denoising loss to work with non-holonomic frames using a stochastic Taylor expansion, and we demonstrate the resulting scheme both explicitly on the Heisenberg group and more generally using adapted coordinates. We perform numerical experiments exemplifying samples from the bridge process on the Heisenberg group and the concentration of this process for small time.

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