All You Need is Resistance: On the Equivalence of Effective Resistance and Certain Optimal Transport Problems on Graphs

要約

グラフ上の効果的な抵抗と最適な輸送の分野には、組み合わせ論、幾何学、機械学習などとの豊富なつながりが詰まっています。
この記事では、$p$ の選択に至るまで、2 つのフィールドは 1 つとして同じものとして理解されるべきであるという大胆な主張を行っています。
グラフ上の確率測定に $p$-Beckmann 距離のパラメータ化された族を導入し、それらを特定の Wasserstein 距離と明確に関連付けることによって、この主張を正確にします。
次に、最適な停止時間とグラフ上のランダム ウォークへの明示的な接続、グラフのソボレフ空間、$2$-ベックマン距離のベナムー-ブレニエ型公式を含む一連の結果を公開します。
私たちは、グラフ データの教師なし学習の世界における経験的意味をさらに調査し、ワッサーシュタイン距離が計算のボトルネックを引き起こす可能性がある場合に、これらのメトリクスの使用法についてさらなる研究を提案します。

要約(オリジナル)

The fields of effective resistance and optimal transport on graphs are filled with rich connections to combinatorics, geometry, machine learning, and beyond. In this article we put forth a bold claim: that the two fields should be understood as one and the same, up to a choice of $p$. We make this claim precise by introducing the parameterized family of $p$-Beckmann distances for probability measures on graphs and relate them sharply to certain Wasserstein distances. Then, we break open a suite of results including explicit connections to optimal stopping times and random walks on graphs, graph Sobolev spaces, and a Benamou-Brenier type formula for $2$-Beckmann distance. We further explore empirical implications in the world of unsupervised learning for graph data and propose further study of the usage of these metrics where Wasserstein distance may produce computational bottlenecks.

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