A Hybrid Kernel-Free Boundary Integral Method with Operator Learning for Solving Parametric Partial Differential Equations In Complex Domains

要約

カーネルフリー境界積分 (KFBI) 法は、楕円偏微分方程式 (PDE) から生じる境界積分方程式の反復解を提示します。
この方法は、修正されたヘルムホルツ方程式、ストークス方程式、弾性方程式などの不規則領域上の楕円偏微分方程式に効果的に対処します。
ニューラル ネットワークと深層学習の急速な進化により、数値偏微分方程式の探求が活発化しています。
数値偏微分方程式を調査するために数学的原理をシームレスに統合する深層学習アプローチへの関心が高まっています。
我々は、KFBI 法の基本原理と深層学習の機能を統合した、ハイブリッド KFBI 法を提案します。
このアプローチは、境界積分法の枠組み内で、偏微分方程式のパラメータ、不均一項、境界情報を境界密度関数にマッピングすることで、対応する積分方程式の解演算子を近似するネットワークを設計します。これは、解とみなすことができます。
積分方程式の。
モデルは、デカルト グリッド ベースの KFBI アルゴリズムによって生成されたデータを使用してトレーニングされ、堅牢な一般化機能を示します。
同じクラスの方程式内のさまざまな境界条件とパラメーターにわたって密度関数を正確に予測します。
実験結果は、トレーニングされたモデルが満足のいく精度で境界密度関数を直接推論できることを示しており、境界積分方程式を解く際の反復ステップの必要性を回避します。
さらに、モデルの推論結果を反復の初期値として適用することも合理的です。
このアプローチでは、KFBI メソッド固有の 2 次精度を維持しながら、反復回数を約 50% 削減することで従来の KFBI アプローチを高速化できます。

要約(オリジナル)

The Kernel-Free Boundary Integral (KFBI) method presents an iterative solution to boundary integral equations arising from elliptic partial differential equations (PDEs). This method effectively addresses elliptic PDEs on irregular domains, including the modified Helmholtz, Stokes, and elasticity equations. The rapid evolution of neural networks and deep learning has invigorated the exploration of numerical PDEs. An increasing interest is observed in deep learning approaches that seamlessly integrate mathematical principles for investigating numerical PDEs. We propose a hybrid KFBI method, integrating the foundational principles of the KFBI method with the capabilities of deep learning. This approach, within the framework of the boundary integral method, designs a network to approximate the solution operator for the corresponding integral equations by mapping the parameters, inhomogeneous terms and boundary information of PDEs to the boundary density functions, which can be regarded as the solution of the integral equations. The models are trained using data generated by the Cartesian grid-based KFBI algorithm, exhibiting robust generalization capabilities. It accurately predicts density functions across diverse boundary conditions and parameters within the same class of equations. Experimental results demonstrate that the trained model can directly infer the boundary density function with satisfactory precision, obviating the need for iterative steps in solving boundary integral equations. Furthermore, applying the inference results of the model as initial values for iterations is also reasonable; this approach can retain the inherent second-order accuracy of the KFBI method while accelerating the traditional KFBI approach by reducing about 50% iterations.

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