Runtime Analysis of Evolutionary Diversity Optimization on the Multi-objective (LeadingOnes, TrailingZeros) Problem

要約

多様性の最適化は最適化問題の一種であり、多様な適切な解決策のセットを見つけることを目的としています。
このような問題を解決するために頻繁に使用されるアプローチの 1 つは、望ましい多様な集団を進化させる進化的アルゴリズムを使用することです。
このアプローチは進化的多様性最適化 (EDO) と呼ばれます。
この論文では、2 目的ベンチマーク関数 (LeadingOnes、TrailingZeros) を修正した 3 目的関数 LOTZ$_k$ で EDO を分析します。
GSEMO が $O(kn^3)$ の予想反復回数ですべてのパレート最適解のセットを計算することを証明します。
また、合計不均衡ベクトルとソートされた不均衡ベクトルという 2 つの異なる多様性尺度に対して可能な限り最高の多様性を持つ母集団が見つかるまで、GSEMO$_D$ (多様性最適化のための GSEMO の修正) の実行時間を分析します。
最初の尺度では、GSEMO$_D$ が $O(kn^2\log(n))$ 予想反復回数でパレート最適母集団を見つけるよりも漸近的に高速に最適化することを示し、2 番目の尺度では、
$O(k^2n^3\log(n))$ の予想される反復の上限。
私たちは理論的分析を実証的研究で補完します。この研究では、両方の多様性尺度について、理論的予測に近い非常に類似した挙動が示されています。

要約(オリジナル)

The diversity optimization is the class of optimization problems, in which we aim at finding a diverse set of good solutions. One of the frequently used approaches to solve such problems is to use evolutionary algorithms which evolve a desired diverse population. This approach is called evolutionary diversity optimization (EDO). In this paper, we analyse EDO on a 3-objective function LOTZ$_k$, which is a modification of the 2-objective benchmark function (LeadingOnes, TrailingZeros). We prove that the GSEMO computes a set of all Pareto-optimal solutions in $O(kn^3)$ expected iterations. We also analyze the runtime of the GSEMO$_D$ (a modification of the GSEMO for diversity optimization) until it finds a population with the best possible diversity for two different diversity measures, the total imbalance and the sorted imbalances vector. For the first measure we show that the GSEMO$_D$ optimizes it asymptotically faster than it finds a Pareto-optimal population, in $O(kn^2\log(n))$ expected iterations, and for the second measure we show an upper bound of $O(k^2n^3\log(n))$ expected iterations. We complement our theoretical analysis with an empirical study, which shows a very similar behavior for both diversity measures that is close to the theory predictions.

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