Finite-dimensional approximations of push-forwards on locally analytic functionals and truncation of least-squares polynomials

要約

この論文では、有限離散データから解析マップを調査するための理論的枠組みを紹介し、多変量状況における最小二乗による多項式近似の基礎となる数学的機構を解明します。
私たちのアプローチは、解析マップ自体を直接扱うのではなく、局所解析汎関数の空間の推進を考慮することです。
我々は、フーリエ・ボレル変換とフォック空間の理論を通じて、有限の離散データからプッシュフォワードの適切な有限次元近似を可能にする方法論を確立します。
さらに、厳密な収束結果を収束率で証明します。
応用として、解析関数を近似し、さらにデータ分布のサポートを超えた近似を可能にするのは、最小二乗多項式ではなく、その高次の項を切り捨てることによって得られる多項式であることを証明します。
私たちの理論の利点の 1 つは、前進の有限次元近似に線形代数演算を適用できることです。
これを利用して、常微分方程式の流れ図の有限データから解析ベクトル場を近似する方法の収束性を証明する。

要約(オリジナル)

This paper introduces a theoretical framework for investigating analytic maps from finite discrete data, elucidating mathematical machinery underlying the polynomial approximation with least-squares in multivariate situations. Our approach is to consider the push-forward on the space of locally analytic functionals, instead of directly handling the analytic map itself. We establish a methodology enabling appropriate finite-dimensional approximation of the push-forward from finite discrete data, through the theory of the Fourier–Borel transform and the Fock space. Moreover, we prove a rigorous convergence result with a convergence rate. As an application, we prove that it is not the least-squares polynomial, but the polynomial obtained by truncating its higher-degree terms, that approximates analytic functions and further allows for approximation beyond the support of the data distribution. One advantage of our theory is that it enables us to apply linear algebraic operations to the finite-dimensional approximation of the push-forward. Utilizing this, we prove the convergence of a method for approximating an analytic vector field from finite data of the flow map of an ordinary differential equation.

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